Trigonometria Exemplos

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe

$u = \sin (x)$ . Substitua

$u$ em todas as ocorrências de

$\sin (x)$ .

$2 u^{2} - u = 0$

Etapa 1.2

Fatore

$u$ de

$2 u^{2} - u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore

$u$ de

$2 u^{2}$ .

$u (2 u) - u = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore

$u$ de

$- u$ .

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore

$u$ de

$u (2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (2 u - 1) = 0$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de

$u$ por

$\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a

$0$ , toda a expressão será igual a

$0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 3

Defina

$\sin (x)$ como igual a

$0$ e resolva para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina

$\sin (x)$ como igual a

$0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 3.2

Resolva

$\sin (x) = 0$ para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair

$x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

O valor exato de

$\arcsin (0)$ é

$0$ .

$x = 0$

Etapa 3.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de

$π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 3.2.4

Subtraia

$0$ de

$π$ .

$x = π$

Etapa 3.2.5

Encontre o período de

$\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.5.2

Substitua

$b$ por

$1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

$0$ e

$1$ é

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.2.5.4

Divida

$2 π$ por

$1$ .

$2 π$

Etapa 3.2.6

O período da função

$\sin (x)$ é

$2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada

$2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

Etapa 4

Defina

$2 \sin (x) - 1$ como igual a

$0$ e resolva para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina

$2 \sin (x) - 1$ como igual a

$0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva

$2 \sin (x) - 1 = 0$ para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Some

$1$ aos dois lados da equação.

$2 \sin (x) = 1$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em

$2 \sin (x) = 1$ por

$2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em

$2 \sin (x) = 1$ por

$2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida

$\sin (x)$ por

$1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair

$x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 4.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

O valor exato de

$\arcsin (\frac{1}{2})$ é

$\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 4.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de

$π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 4.2.6

Simplifique

$π - \frac{π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Para escrever

$π$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 4.2.6.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.2.1

Combine

$π$ e

$\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 4.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 4.2.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.3.1

Mova

$6$ para a esquerda de

$π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 4.2.6.3.2

Subtraia

$π$ de

$6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 4.2.7

Encontre o período de

$\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.7.2

Substitua

$b$ por

$1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

$0$ e

$1$ é

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.7.4

Divida

$2 π$ por

$1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.8

O período da função

$\sin (x)$ é

$2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada

$2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

Etapa 6

Consolide

$2 π n$ e

$π + 2 π n$ em

$π n$ .

$x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$