Trigonometria Exemplos

$\log_{6} (2 x - 1) + \log_{6} (4 x + 3) = 2$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} ((2 x - 1) (4 x + 3)) = 2$

Etapa 1.2

Expanda $(2 x - 1) (4 x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{6} (2 x (4 x + 3) - 1 (4 x + 3)) = 2$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{6} (2 x (4 x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x + 3)) = 2$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{6} (2 x (4 x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\log_{6} (2 \cdot (4 x \cdot x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\log_{6} (2 \cdot (4 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Etapa 1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{6} (2 \cdot (4 x^{2}) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Etapa 1.3.1.5

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 4 x - 1 \cdot 3) = 2$

Etapa 1.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 4 x - 3) = 2$

Etapa 1.3.2

Subtraia $4 x$ de $6 x$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 2 x - 3) = 2$

Etapa 2

Reescreva $\log_{6} (8 x^{2} + 2 x - 3) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$6^{2} = 8 x^{2} + 2 x - 3$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $8 x^{2} + 2 x - 3 = 6^{2}$ .

$8 x^{2} + 2 x - 3 = 6^{2}$

Etapa 3.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$8 x^{2} + 2 x - 3 = 36$

Etapa 3.3

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Subtraia $36$ dos dois lados da equação.

$8 x^{2} + 2 x - 3 - 36 = 0$

Etapa 3.3.2

Subtraia $36$ de $- 3$ .

$8 x^{2} + 2 x - 39 = 0$

Etapa 3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5

Substitua os valores $a = 8$ , $b = 2$ e $c = - 39$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (8 \cdot - 39)}}{2 \cdot 8}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8 \cdot - 39}}{2 \cdot 8}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 8 \cdot - 39$ .

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Etapa 3.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 32 \cdot - 39}}{2 \cdot 8}$

Etapa 3.6.1.2.2

Multiplique $- 32$ por $- 39$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 1248}}{2 \cdot 8}$

Etapa 3.6.1.3

Some $4$ e $1248$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{1252}}{2 \cdot 8}$

Etapa 3.6.1.4

Reescreva $1252$ como $2^{2} \cdot 313$ .

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Etapa 3.6.1.4.1

Fatore $4$ de $1252$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (313)}}{2 \cdot 8}$

Etapa 3.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 313}}{2 \cdot 8}$

Etapa 3.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{2 \cdot 8}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{16}$

Etapa 3.6.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{16}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{313}}{8}$

Etapa 3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}, - \frac{1 + \sqrt{313}}{8}$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{6} (2 x - 1) + \log_{6} (4 x + 3) = 2$ verdadeira.

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}$

Forma decimal:

$x = 2.08647575 \dots$