Trigonometria Exemplos

\csc^{2} (x) - \csc (x) - 2 = 0

$\csc^{2} (x) - \csc (x) - 2 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe

u = \csc (x)

$u = \csc (x)$ . Substitua

u

$u$ em todas as ocorrências de

\csc (x)

$\csc (x)$ .

u^{2} - u - 2 = 0

$u^{2} - u - 2 = 0$

Etapa 1.2

Fatore

u^{2} - u - 2

$u^{2} - u - 2$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Considere a forma

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é

c

$c$ e cuja soma é

b

$b$ . Neste caso, cujo produto é

- 2

$- 2$ e cuja soma é

- 1

$- 1$ .

- 2, 1

$- 2, 1$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

(u - 2) (u + 1) = 0

$(u - 2) (u + 1) = 0$

(u - 2) (u + 1) = 0

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de

u

$u$ por

\csc (x)

$\csc (x)$ .

(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$

(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a

0

$0$ , toda a expressão será igual a

0

$0$ .

\csc (x) - 2 = 0

$\csc (x) - 2 = 0$

\csc (x) + 1 = 0

$\csc (x) + 1 = 0$

Etapa 3

Defina

\csc (x) - 2

$\csc (x) - 2$ como igual a

0

$0$ e resolva para

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina

\csc (x) - 2

$\csc (x) - 2$ como igual a

0

$0$ .

\csc (x) - 2 = 0

$\csc (x) - 2 = 0$

Etapa 3.2

Resolva

\csc (x) - 2 = 0

$\csc (x) - 2 = 0$ para

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Some

2

$2$ aos dois lados da equação.

\csc (x) = 2

$\csc (x) = 2$

Etapa 3.2.2

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair

x

$x$ de dentro da cossecante.

x = arccsc (2)

$x = arccsc (2)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

O valor exato de

arccsc (2)

$arccsc (2)$ é

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ .

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 3.2.4

A função cossecante é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de

π

$π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

x = π - \frac{π}{6}

$x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 3.2.5

Simplifique

π - \frac{π}{6}

$π - \frac{π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Para escrever

π

$π$ como fração com um denominador comum, multiplique por

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 3.2.5.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.1

Combine

π

$π$ e

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 3.2.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 3.2.5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.3.1

Mova

6

$6$ para a esquerda de

π

$π$ .

x = \frac{6 \cdot π - π}{6}

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 3.2.5.3.2

Subtraia

π

$π$ de

6 π

$6 π$ .

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 3.2.6

Encontre o período de

\csc (x)

$\csc (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.6.2

Substitua

b

$b$ por

1

$1$ na fórmula do período.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

0

$0$ e

1

$1$ é

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.2.6.4

Divida

2 π

$2 π$ por

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Etapa 3.2.7

O período da função

\csc (x)

$\csc (x)$ é

2 π

$2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada

2 π

$2 π$ radianos nas duas direções.

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

Etapa 4

Defina

\csc (x) + 1

$\csc (x) + 1$ como igual a

0

$0$ e resolva para

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina

\csc (x) + 1

$\csc (x) + 1$ como igual a

0

$0$ .

\csc (x) + 1 = 0

$\csc (x) + 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva

\csc (x) + 1 = 0

$\csc (x) + 1 = 0$ para

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia

1

$1$ dos dois lados da equação.

\csc (x) = - 1

$\csc (x) = - 1$

Etapa 4.2.2

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair

x

$x$ de dentro da cossecante.

x = arccsc (- 1)

$x = arccsc (- 1)$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

O valor exato de

arccsc (- 1)

$arccsc (- 1)$ é

- \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2}$ .

x = - \frac{π}{2}

$x = - \frac{π}{2}$

x = - \frac{π}{2}

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from

2 π

$2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to

π

$π$ to find the solution in the third quadrant.

x = 2 π + \frac{π}{2} + π

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 4.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Subtraia

2 π

$2 π$ de

2 π + \frac{π}{2} + π

$2 π + \frac{π}{2} + π$ .

x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 4.2.5.2

O ângulo resultante de

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que

2 π

$2 π$ e coterminal com

2 π + \frac{π}{2} + π

$2 π + \frac{π}{2} + π$ .

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 4.2.6

Encontre o período de

\csc (x)

$\csc (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.6.2

Substitua

b

$b$ por

1

$1$ na fórmula do período.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

0

$0$ e

1

$1$ é

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.6.4

Divida

2 π

$2 π$ por

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Etapa 4.2.7

Some

2 π

$2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.1

Some

2 π

$2 π$ com

- \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

- \frac{π}{2} + 2 π

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 4.2.7.2

Para escrever

2 π

$2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.7.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.3.1

Combine

2 π

$2 π$ e

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 4.2.7.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.4.1

Multiplique

2

$2$ por

2

$2$ .

\frac{4 π - π}{2}

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 4.2.7.4.2

Subtraia

π

$π$ de

4 π

$4 π$ .

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 4.2.7.5

Liste os novos ângulos.

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 4.2.8

O período da função

\csc (x)

$\csc (x)$ é

2 π

$2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada

2 π

$2 π$ radianos nas duas direções.

x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam

(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$ verdadeiro.

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

Etapa 6

Consolide as respostas.

x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro

n

$n$