Trigonometria Exemplos

$\cot^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reescreva $\cot^{4} (x)$ como ${(\cot^{2} (x))}^{2}$ .

${(\cot^{2} (x))}^{2} - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

Etapa 1.2

Deixe $u = \cot^{2} (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\cot^{2} (x)$ .

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

Etapa 1.3

Fatore $u^{2} - 4 u + 3$ usando o método AC.

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Etapa 1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 3, - 1$

Etapa 1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cot^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 3

Defina $\cot^{2} (x) - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $\cot^{2} (x) - 3$ como igual a $0$ .

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\cot^{2} (x) - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$\cot^{2} (x) = 3$

Etapa 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{3}$

Etapa 3.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cot (x) = \sqrt{3}$

Etapa 3.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Etapa 3.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cot (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 3.2.4

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cot (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Etapa 3.2.5

Resolva $x$ em $\cot (x) = \sqrt{3}$ .

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Etapa 3.2.5.1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (\sqrt{3})$

Etapa 3.2.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.5.2.1

O valor exato de $arccot (\sqrt{3})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 3.2.5.3

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{6}$

Etapa 3.2.5.4

Simplifique $π + \frac{π}{6}$ .

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Etapa 3.2.5.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Etapa 3.2.5.4.2

Combine frações.

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Etapa 3.2.5.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Etapa 3.2.5.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Etapa 3.2.5.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.5.4.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Etapa 3.2.5.4.3.2

Some $6 π$ e $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 3.2.5.5

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 3.2.5.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 3.2.5.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.5.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 3.2.5.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.2.5.6

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.2.6

Resolva $x$ em $\cot (x) = - \sqrt{3}$ .

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Etapa 3.2.6.1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (- \sqrt{3})$

Etapa 3.2.6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.6.2.1

O valor exato de $arccot (- \sqrt{3})$ é $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 3.2.6.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{5 π}{6} - π$

Etapa 3.2.6.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 3.2.6.4.1

Some $2 π$ a $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6} - π + 2 π$

Etapa 3.2.6.4.2

O ângulo resultante de $\frac{11 π}{6}$ é positivo e coterminal com $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 3.2.6.5

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 3.2.6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 3.2.6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 3.2.6.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.2.6.6

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.2.7

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.2.8

Consolide as soluções.

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Etapa 3.2.8.1

Consolide $\frac{π}{6} + π n$ e $\frac{7 π}{6} + π n$ em $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.2.8.2

Consolide $\frac{5 π}{6} + π n$ e $\frac{11 π}{6} + π n$ em $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $\cot^{2} (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\cot^{2} (x) - 1$ como igual a $0$ .

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\cot^{2} (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\cot^{2} (x) = 1$

Etapa 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{1}$

Etapa 4.2.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\cot (x) = \pm 1$

Etapa 4.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cot (x) = 1$

Etapa 4.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cot (x) = - 1$

Etapa 4.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cot (x) = 1, - 1$

Etapa 4.2.5

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cot (x) = 1$

$\cot (x) = - 1$

Etapa 4.2.6

Resolva $x$ em $\cot (x) = 1$ .

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Etapa 4.2.6.1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (1)$

Etapa 4.2.6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.6.2.1

O valor exato de $arccot (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.6.3

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.6.4

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 4.2.6.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.6.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.6.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 4.2.6.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.6.4.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 4.2.6.4.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 4.2.6.5

Encontre o período de $\cot (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 4.2.6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 4.2.6.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.2.6.6

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.2.7

Resolva $x$ em $\cot (x) = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (- 1)$

Etapa 4.2.7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.7.2.1

O valor exato de $arccot (- 1)$ é $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 4.2.7.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Etapa 4.2.7.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.4.1

Some $2 π$ a $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Etapa 4.2.7.4.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{4}$ é positivo e coterminal com $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 4.2.7.5

Encontre o período de $\cot (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 4.2.7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 4.2.7.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.2.7.6

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.2.8

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.2.9

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$