Trigonometria Exemplos

$\cot^{2} (x) - 8 \cot (x) + 12 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Deixe $u = \cot (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\cot (x)$ .

$u^{2} - 8 u + 12 = 0$

Etapa 1.2

Fatore $u^{2} - 8 u + 12$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $- 8$ .

$- 6, - 2$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 6) (u - 2) = 0$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cot (x)$ .

$(\cot (x) - 6) (\cot (x) - 2) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cot (x) - 6 = 0$

$\cot (x) - 2 = 0$

Etapa 3

Defina $\cot (x) - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $\cot (x) - 6$ como igual a $0$ .

$\cot (x) - 6 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\cot (x) - 6 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$\cot (x) = 6$

Etapa 3.2.2

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (6)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Avalie $arccot (6)$ .

$x = 0.16514867$

Etapa 3.2.4

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.16514867$

Etapa 3.2.5

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.5.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 0.16514867$

Etapa 3.2.5.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 0.16514867$

Etapa 3.2.5.3

Some $3.14159265$ e $0.16514867$ .

$x = 3.30674133$

Etapa 3.2.6

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 3.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 3.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 3.2.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.2.7

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.16514867 + π n, 3.30674133 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $\cot (x) - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\cot (x) - 2$ como igual a $0$ .

$\cot (x) - 2 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\cot (x) - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$\cot (x) = 2$

Etapa 4.2.2

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (2)$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

Avalie $arccot (2)$ .

$x = 0.4636476$

Etapa 4.2.4

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Etapa 4.2.5

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.5.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

Etapa 4.2.5.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Etapa 4.2.5.3

Some $3.14159265$ e $0.4636476$ .

$x = 3.60524026$

Etapa 4.2.6

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 4.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 4.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 4.2.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.2.7

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(\cot (x) - 6) (\cot (x) - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0.16514867 + π n, 3.30674133 + π n, 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Consolide as respostas.

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Etapa 6.1

Consolide $0.16514867 + π n$ e $3.30674133 + π n$ em $0.16514867 + π n$ .

$x = 0.16514867 + π n, 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6.2

Consolide $0.4636476 + π n$ e $3.60524026 + π n$ em $0.4636476 + π n$ .

$x = 0.16514867 + π n, 0.4636476 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$