Trigonometria Exemplos

$\cot^{2} (x) + 6 \cot (x) - 2 = 0$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\cot (x)$ .

${(u)}^{2} + 6 (u) - 2 = 0$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 6$ e $c = - 2$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3

Some $36$ e $8$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4

Reescreva $44$ como $2^{2} \cdot 11$ .

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Etapa 4.1.4.1

Fatore $4$ de $44$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$ .

$u = - 3 \pm \sqrt{11}$

Etapa 5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = - 3 + \sqrt{11}, - 3 - \sqrt{11}$

Etapa 6

Substitua $\cot (x)$ por $u$ .

$\cot (x) = - 3 + \sqrt{11}, - 3 - \sqrt{11}$

Etapa 7

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cot (x) = - 3 + \sqrt{11}$

$\cot (x) = - 3 - \sqrt{11}$

Etapa 8

Resolva $x$ em $\cot (x) = - 3 + \sqrt{11}$ .

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Etapa 8.1

Converta o lado direito da equação em seu equivalente decimal.

$\cot (x) = 0.31662479$

Etapa 8.2

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (0.31662479)$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Avalie $arccot (0.31662479)$ .

$x = 1.26415806$

Etapa 8.4

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 1.26415806$

Etapa 8.5

Resolva $x$ .

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Etapa 8.5.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 1.26415806$

Etapa 8.5.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 1.26415806$

Etapa 8.5.3

Some $3.14159265$ e $1.26415806$ .

$x = 4.40575072$

Etapa 8.6

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 8.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 8.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 8.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 8.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 8.7

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.26415806 + π n, 4.40575072 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Resolva $x$ em $\cot (x) = - 3 - \sqrt{11}$ .

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Etapa 9.1

Converta o lado direito da equação em seu equivalente decimal.

$\cot (x) = - 6.31662479$

Etapa 9.2

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (- 6.31662479)$

Etapa 9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.1

Avalie $arccot (- 6.31662479)$ .

$x = 2.9845833$

Etapa 9.4

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2.9845833 - (3.14159265)$

Etapa 9.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 9.5.1

Some $2 π$ a $2.9845833 - (3.14159265)$ .

$x = 2.9845833 - (3.14159265) + 2 π$

Etapa 9.5.2

O ângulo resultante de $6.12617595$ é positivo e coterminal com $2.9845833 - (3.14159265)$ .

$x = 6.12617595$

Etapa 9.6

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 9.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 9.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 9.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 9.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 9.7

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 2.9845833 + π n, 6.12617595 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Liste todas as soluções.

$x = 1.26415806 + π n, 4.40575072 + π n, 2.9845833 + π n, 6.12617595 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Consolide as soluções.

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Etapa 11.1

Consolide $1.26415806 + π n$ e $4.40575072 + π n$ em $1.26415806 + π n$ .

$x = 1.26415806 + π n, 2.9845833 + π n, 6.12617595 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11.2

Consolide $2.9845833 + π n$ e $6.12617595 + π n$ em $2.9845833 + π n$ .

$x = 1.26415806 + π n, 2.9845833 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$