Trigonometria Exemplos

$\cos^{2} (x) + 6 \cos (x) + 4 = 0$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

${(u)}^{2} + 6 (u) + 4 = 0$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 6$ e $c = 4$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $16$ de $36$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Etapa 4.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 3 \pm \sqrt{5}$

Etapa 5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = - 3 + \sqrt{5}, - 3 - \sqrt{5}$

Etapa 6

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = - 3 + \sqrt{5}, - 3 - \sqrt{5}$

Etapa 7

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = - 3 + \sqrt{5}$

$\cos (x) = - 3 - \sqrt{5}$

Etapa 8

Resolva $x$ em $\cos (x) = - 3 + \sqrt{5}$ .

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Etapa 8.1

Converta o lado direito da equação em seu equivalente decimal.

$\cos (x) = - 0.76393202$

Etapa 8.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- 0.76393202)$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Avalie $\arccos (- 0.76393202)$ .

$x = 2.44018101$

Etapa 8.4

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 2.44018101$

Etapa 8.5

Resolva $x$ .

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Etapa 8.5.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 2.44018101$

Etapa 8.5.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 2.44018101$ .

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Etapa 8.5.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.44018101$

Etapa 8.5.2.2

Subtraia $2.44018101$ de $6.2831853$ .

$x = 3.84300429$

Etapa 8.6

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 8.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 8.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 8.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 8.7

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2.44018101 + 2 π n, 3.84300429 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Resolva $x$ em $\cos (x) = - 3 - \sqrt{5}$ .

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Etapa 9.1

Converta o lado direito da equação em seu equivalente decimal.

$\cos (x) = - 5.23606797$

Etapa 9.2

O intervalo do cosseno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 5.23606797$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 10

Liste todas as soluções.

$x = 2.44018101 + 2 π n, 3.84300429 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$