Trigonometria Exemplos

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique $\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$ .

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 1.1.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

Simplifique $\frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = (\cos (x) + 1) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \cos (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2.1.4

Multiplique $\cos (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

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Etapa 2.1.4.1

Combine $\cos (x)$ e $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2.1.4.2

Multiplique $\cos (x)$ por $\cos^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.4.2.1

Multiplique $\cos (x)$ por $\cos^{2} (x)$ .

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Etapa 2.1.4.2.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{1} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2.1.4.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{{\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2.1.4.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2.1.5

Multiplique $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ por $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.6.1

Fatore $\cos^{2} (x)$ de $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2.1.6.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x) \cdot 1} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2.1.6.3

Separe as frações.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2.1.6.4

Converta de $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ em $\cot^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x)}{1} \cot^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2.1.6.5

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \cos (x) \cot^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2.1.6.6

Converta de $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ em $\cot^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \cos (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

Etapa 3

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$\cos (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Etapa 4

Substitua $\cot^{2} (x)$ por $\csc^{2} (x) - 1$ com base na identidade $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Etapa 5

Reordene o polinômio.

$\csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) - 1 = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Etapa 6

Simplifique $\csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) - 1$ .

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Etapa 6.1

Mova $- 1$ .

$\csc^{2} (x) - 1 + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Etapa 6.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Etapa 6.3

Some $\cot^{2} (x)$ e $\cot^{2} (x)$ .

$2 \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Etapa 7

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = 2 \cot^{2} (x)$

Etapa 8

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1

Subtraia $2 \cot^{2} (x)$ dos dois lados da equação.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} - 2 \cot^{2} (x) = 0$

Etapa 8.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - 2 \cot^{2} (x) = 0$

Etapa 8.2.2

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - 2 {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} = 0$

Etapa 8.2.3

Aplique a regra do produto a $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - 2 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Etapa 8.2.4

Combine $- 2$ e $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} + \frac{- 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Etapa 8.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Etapa 8.3

Para escrever $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Etapa 8.4

Para escrever $- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} = 0$

Etapa 8.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.5.1

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} = 0$

Etapa 8.5.2

Multiplique $\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ por $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ .

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Etapa 8.5.3

Reordene os fatores de $(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} - \frac{2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Etapa 8.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Etapa 8.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.7.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ .

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Etapa 8.7.1.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Etapa 8.7.1.2

Fatore $\cos (x)$ de $- 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x)) + \cos (x) (- 2 \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1))}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Etapa 8.7.1.3

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) (\sin^{2} (x)) + \cos (x) (- 2 \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1))$ .

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1))}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Etapa 8.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Etapa 8.7.3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 8.7.3.1

Fatore $\cos (x)$ de $- 2 \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 2 \frac{1}{\cos (x)} - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Etapa 8.7.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 2 \frac{1}{\cos (x)} - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Etapa 8.7.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Etapa 8.7.4

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Etapa 8.8

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Etapa 8.9

Separe as frações.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Etapa 8.10

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} \cot (x) = 0$

Etapa 8.11

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\sec (x) - 1)} \cot (x) = 0$

Etapa 8.12

Combine $\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\sec (x) - 1)}$ e $\cot (x)$ .

$\frac{(\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) \cot (x)}{\sin (x) (\sec (x) - 1)} = 0$

Etapa 8.13

Separe as frações.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\cot (x)}{\sin (x)} = 0$

Etapa 8.14

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)} = 0$

Etapa 8.15

Reescreva $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ como um produto.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) = 0$

Etapa 8.16

Simplifique.

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Etapa 8.16.1

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\cot (x) \frac{1}{\sin (x)}) = 0$

Etapa 8.16.2

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\cot (x) \csc (x)) = 0$

Etapa 8.17

Multiplique $\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\cot (x) \csc (x))$ .

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Etapa 8.17.1

Combine $\cot (x)$ e $\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sec (x) - 1} \csc (x) = 0$

Etapa 8.17.2

Combine $\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sec (x) - 1}$ e $\csc (x)$ .

$\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) \csc (x)}{\sec (x) - 1} = 0$

Etapa 8.18

Reordene os fatores em $\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) \csc (x)}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{\cot (x) \csc (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sec (x) - 1} = 0$

Etapa 9

Defina o numerador como igual a zero.

$\cot (x) \csc (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) = 0$

Etapa 10

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 10.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

$\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

Etapa 10.2

Defina $\cot (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.2.1

Defina $\cot (x)$ como igual a $0$ .

$\cot (x) = 0$

Etapa 10.2.2

Resolva $\cot (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 10.2.2.1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (0)$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.2.2.1

O valor exato de $arccot (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 10.2.2.3

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{2}$

Etapa 10.2.2.4

Simplifique $π + \frac{π}{2}$ .

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Etapa 10.2.2.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 10.2.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 10.2.2.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 10.2.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Etapa 10.2.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.2.4.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Etapa 10.2.2.4.3.2

Some $2 π$ e $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 10.2.2.5

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 10.2.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 10.2.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 10.2.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 10.2.2.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 10.2.2.6

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10.3

Defina $\csc (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.3.1

Defina $\csc (x)$ como igual a $0$ .

$\csc (x) = 0$

Etapa 10.3.2

O intervalo da cossecante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 10.4

Defina $\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.4.1

Defina $\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)$ como igual a $0$ .

$\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

Etapa 10.4.2

Resolva $\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 10.4.2.1

Substitua $\sin^{2} (x)$ por $1 - \cos^{2} (x)$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

Etapa 10.4.2.2

Resolva $x$ .

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Etapa 10.4.2.2.1

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 1 - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) = 0$

Etapa 10.4.2.2.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 10.4.2.2.2.1

Reordene os termos.

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 10.4.2.2.2.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ e cuja soma é $b = 2$ .

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Etapa 10.4.2.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cos (x)$ .

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 10.4.2.2.2.2.2

Reescreva $2$ como $1$ mais $1$

$- \cos^{2} (x) + (1 + 1) \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 10.4.2.2.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) + 1 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 10.4.2.2.2.2.4

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 1 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 10.4.2.2.2.2.5

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 10.4.2.2.2.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 10.4.2.2.2.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 10.4.2.2.2.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) - 1 (- \cos (x) + 1) = 0$

Etapa 10.4.2.2.2.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- \cos (x) + 1$ .

$(- \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Etapa 10.4.2.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Etapa 10.4.2.2.4

Defina $- \cos (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.4.2.2.4.1

Defina $- \cos (x) + 1$ como igual a $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 10.4.2.2.4.2

Resolva $- \cos (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 10.4.2.2.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \cos (x) = - 1$

Etapa 10.4.2.2.4.2.2

Divida cada termo em $- \cos (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 10.4.2.2.4.2.2.1

Divida cada termo em $- \cos (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 10.4.2.2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.4.2.2.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 10.4.2.2.4.2.2.2.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 10.4.2.2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.4.2.2.4.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Etapa 10.4.2.2.4.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (1)$

Etapa 10.4.2.2.4.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.4.2.2.4.2.4.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 10.4.2.2.4.2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Etapa 10.4.2.2.4.2.6

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Etapa 10.4.2.2.4.2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 10.4.2.2.4.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.4.2.2.4.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 10.4.2.2.4.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 10.4.2.2.4.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 10.4.2.2.4.2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10.4.2.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(- \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10.5

A solução final são todos os valores que tornam $\cot (x) \csc (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Consolide as respostas.

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Etapa 11.1

Consolide $\frac{π}{2} + π n$ e $\frac{3 π}{2} + π n$ em $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11.2

Consolide $2 π n$ e $2 π + 2 π n$ em $2 π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Exclua as soluções que não tornam $\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$ verdadeira.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$