Trigonometria Exemplos

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 6 \cos (x) + 9 \sin (x) \cos (x)$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $6 \cos (x)$ dos dois lados da equação.

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$

Etapa 1.2

Subtraia $9 \sin (x) \cos (x)$ dos dois lados da equação.

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Etapa 2

Substitua $3 \sin^{2} (x)$ por $3 (1 - \cos^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Etapa 3.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Etapa 4

Reordene o polinômio.

$- 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + 3 = 0$

Etapa 5

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1

Simplifique $- 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + 3$ .

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Etapa 5.1.1

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.1.1.1

Mova $3$ .

$- 3 \cos^{2} (x) + 3 - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 5.1.1.2

Reordene $- 3 \cos^{2} (x)$ e $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 5.1.1.3

Fatore $3$ de $3$ .

$3 (1) - 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 5.1.1.4

Fatore $3$ de $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 (1) + 3 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 5.1.1.5

Fatore $3$ de $3 (1) + 3 (- \cos^{2} (x))$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 5.1.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$3 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 6

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.1

Adicione parênteses.

$3 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 (\sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 6.2

Deixe $u = \cos (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\cos (x)$ .

$3 \sin^{2} (x) - 6 u - 9 u \sin (x) + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 6.3

Reordene os termos.

$- 9 u \sin (x) - 6 u + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 6.4

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.4.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(- 9 u \sin (x) - 6 u) + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 6.4.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$3 u (- 3 \sin (x) - 2) - \sin (x) (- 3 \sin (x) - 2) = 0$

Etapa 6.5

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 3 \sin (x) - 2$ .

$(- 3 \sin (x) - 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Etapa 6.6

Fatore $- 1$ de $- 3 \sin (x) - 2$ .

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Etapa 6.6.1

Fatore $- 1$ de $- 3 \sin (x)$ .

$(- (3 \sin (x)) - 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Etapa 6.6.2

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$(- (3 \sin (x)) - 1 \cdot 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Etapa 6.6.3

Fatore $- 1$ de $- (3 \sin (x)) - 1 (2)$ .

$- (3 \sin (x) + 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Etapa 6.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$- (3 \sin (x) + 2) (3 \cos (x) - \sin (x)) = 0$

Etapa 7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 \sin (x) + 2 = 0$

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$

Etapa 8

Defina $3 \sin (x) + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $3 \sin (x) + 2$ como igual a $0$ .

$3 \sin (x) + 2 = 0$

Etapa 8.2

Resolva $3 \sin (x) + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 8.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 \sin (x) = - 2$

Etapa 8.2.2

Divida cada termo em $3 \sin (x) = - 2$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 8.2.2.1

Divida cada termo em $3 \sin (x) = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 8.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 8.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2}{3}$

Etapa 8.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (x) = - \frac{2}{3}$

Etapa 8.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{2}{3})$

Etapa 8.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.4.1

Avalie $\arcsin (- \frac{2}{3})$ .

$x = - 0.72972765$

Etapa 8.2.5

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$

Etapa 8.2.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 8.2.6.1

Subtraia $2 π$ de $2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265 - 2 π$

Etapa 8.2.6.2

O ângulo resultante de $3.8713203$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$ .

$x = 3.8713203$

Etapa 8.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 8.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 8.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 8.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 8.2.8

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 8.2.8.1

Some $2 π$ com $- 0.72972765$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 0.72972765 + 2 π$

Etapa 8.2.8.2

Subtraia $0.72972765$ de $2 π$ .

$5.55345765$

Etapa 8.2.8.3

Liste os novos ângulos.

$x = 5.55345765$

Etapa 8.2.9

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Defina $3 \cos (x) - \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.1

Defina $3 \cos (x) - \sin (x)$ como igual a $0$ .

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$

Etapa 9.2

Resolva $3 \cos (x) - \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 9.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 9.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 9.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 9.2.2.2

Divida $3$ por $1$ .

$3 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 9.2.3

Separe as frações.

$3 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 9.2.4

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$3 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 9.2.5

Divida $- 1$ por $1$ .

$3 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 9.2.6

Separe as frações.

$3 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 9.2.7

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$3 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 9.2.8

Divida $0$ por $1$ .

$3 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 9.2.9

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$3 - \tan (x) = 0$

Etapa 9.2.10

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- \tan (x) = - 3$

Etapa 9.2.11

Divida cada termo em $- \tan (x) = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 9.2.11.1

Divida cada termo em $- \tan (x) = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 9.2.11.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.11.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 9.2.11.2.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 9.2.11.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.11.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$\tan (x) = 3$

Etapa 9.2.12

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (3)$

Etapa 9.2.13

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.13.1

Avalie $\arctan (3)$ .

$x = 1.24904577$

Etapa 9.2.14

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Etapa 9.2.15

Resolva $x$ .

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Etapa 9.2.15.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

Etapa 9.2.15.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Etapa 9.2.15.3

Some $3.14159265$ e $1.24904577$ .

$x = 4.39063842$

Etapa 9.2.16

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 9.2.16.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 9.2.16.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 9.2.16.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 9.2.16.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 9.2.17

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

A solução final são todos os valores que tornam $- (3 \sin (x) + 2) (3 \cos (x) - \sin (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n, 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Consolide $1.24904577 + π n$ e $4.39063842 + π n$ em $1.24904577 + π n$ .

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n, 1.24904577 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$