Trigonometria Exemplos

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)} = \sec^{2} (x)$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $\sec^{2} (x)$ dos dois lados da equação.

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)} - \sec^{2} (x) = 0$

Etapa 1.2

Para escrever $- \sec^{2} (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + \cot (x)}{1 + \cot (x)}$ .

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)} - \sec^{2} (x) \cdot \frac{1 + \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Etapa 1.3

Combine $- \sec^{2} (x)$ e $\frac{1 + \cot (x)}{1 + \cot (x)}$ .

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)} + \frac{- \sec^{2} (x) (1 + \cot (x))}{1 + \cot (x)} = 0$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) (1 + \cot (x))}{1 + \cot (x)} = 0$

Etapa 1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cdot 1 - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Etapa 1.5.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Etapa 1.5.3

Mova $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{1 - \sec^{2} (x) + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Etapa 1.5.4

Reordene $1$ e $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec^{2} (x) + 1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Etapa 1.5.5

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{- (\sec^{2} (x)) + 1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Etapa 1.5.6

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Etapa 1.5.7

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- (\sec^{2} (x) - 1) + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Etapa 1.5.8

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{- \tan^{2} (x) + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Etapa 1.6

Fatore $- 1$ de $- \tan^{2} (x)$ .

$\frac{- (\tan^{2} (x)) + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Etapa 1.7

Fatore $- 1$ de $\tan (x)$ .

$\frac{- (\tan^{2} (x)) - 1 (- \tan (x)) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Etapa 1.8

Fatore $- 1$ de $- (\tan^{2} (x)) - 1 (- \tan (x))$ .

$\frac{- (\tan^{2} (x) - \tan (x)) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Etapa 1.9

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (x) \cot (x)$ .

$\frac{- (\tan^{2} (x) - \tan (x)) - (\sec^{2} (x) \cot (x))}{1 + \cot (x)} = 0$

Etapa 1.10

Fatore $- 1$ de $- (\tan^{2} (x) - \tan (x)) - (\sec^{2} (x) \cot (x))$ .

$\frac{- (\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x))}{1 + \cot (x)} = 0$

Etapa 1.11

Reescreva $- (\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x))$ como $- 1 (\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x))$ .

$\frac{- 1 (\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x))}{1 + \cot (x)} = 0$

Etapa 1.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

Etapa 2

Defina o numerador como igual a zero.

$\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x) = 0$

Etapa 3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x) = 0$

Etapa 3.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x) = 0$

Etapa 3.1.1.3

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cot (x) = 0$

Etapa 3.1.1.4

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cot (x) = 0$

Etapa 3.1.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cot (x) = 0$

Etapa 3.1.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cot (x) = 0$

Etapa 3.1.1.7

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Etapa 3.1.1.8

Combine.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = 0$

Etapa 3.1.1.9

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.9.1

Fatore $\cos (x)$ de $1 \cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = 0$

Etapa 3.1.1.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.9.2.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))} = 0$

Etapa 3.1.1.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))} = 0$

Etapa 3.1.1.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = 0$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados da equação por $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 3.4.1.2

Cancele o fator comum.

$\cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 3.4.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 3.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 3.4.3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) (\sin (x))} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 3.4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 3.4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Fatore $\cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 3.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 3.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 3.6

Multiplique $\cos (x)$ por $0$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} = 0$

Etapa 3.7

Multiplique os dois lados da equação por $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 3.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 3.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Multiplique $\sin (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.1

Combine $\sin (x)$ e $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 3.9.1.2

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.2.1

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.2.1.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 3.9.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 2}}{\cos (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 3.9.1.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 3.9.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 3.9.3

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 3.9.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (x) + 1 = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 3.10

Multiplique $- \sin (x) \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 1 = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 3.10.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 1 = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 3.10.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - {\sin (x)}^{1 + 1} + 1 = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 3.10.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \sin^{2} (x) + 1 = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 3.11

Reordene $- \sin^{2} (x)$ e $1$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + 1 - \sin^{2} (x) = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 3.12

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) = \sin (x) \cdot 0$

Etapa 3.13

Multiplique $\sin (x)$ por $0$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 3.14

Substitua $\cos^{2} (x)$ por $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) (1 - \sin^{2} (x))} = 0$

Etapa 3.15

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) (1 - \sin^{2} (x))}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.16

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.17

Separe as frações.

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.18

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.19

Divida $\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}$ por $1$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.20

Multiplique $\cos (x)$ por $\cos^{2} (x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.1

Multiplique $\cos (x)$ por $\cos^{2} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.20.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin^{3} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 2}} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.20.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.21

Converta de $\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$ em $\tan^{3} (x)$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.22

Separe as frações.

$\tan^{3} (x) \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 3.23

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 3.24

Divida $0$ por $1$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 3.25

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) = 0$

Etapa 3.26

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\tan^{3} (x) = 0$

$\sec (x) = 0$

Etapa 3.27

Defina $\tan^{3} (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.27.1

Defina $\tan^{3} (x)$ como igual a $0$ .

$\tan^{3} (x) = 0$

Etapa 3.27.2

Resolva $\tan^{3} (x) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.27.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \sqrt[3]{0}$

Etapa 3.27.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.27.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\tan (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 3.27.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$\tan (x) = 0$

Etapa 3.27.2.3

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (0)$

Etapa 3.27.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.27.2.4.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.27.2.5

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + 0$

Etapa 3.27.2.6

Some $π$ e $0$ .

$x = π$

Etapa 3.27.2.7

Encontre o período de $\tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.27.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 3.27.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 3.27.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 3.27.2.7.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.27.2.8

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.28

Defina $\sec (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.28.1

Defina $\sec (x)$ como igual a $0$ .

$\sec (x) = 0$

Etapa 3.28.2

O intervalo da secante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 3.29

A solução final são todos os valores que tornam $\tan^{3} (x) \sec (x) = 0$ verdadeiro.

$x = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Consolide as respostas.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)} = \sec^{2} (x)$ verdadeira.

Nenhuma solução