Trigonometria Exemplos

$\frac{1}{\csc (x) + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1} = 1$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique $\frac{1}{\csc (x) + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1}$ .

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1} = 1$

Etapa 1.1.2

Para escrever $\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1} = 1$

Etapa 1.1.3

Para escrever $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} = 1$

Etapa 1.1.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) + 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ por $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x) + 1}{(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) + 1)} + \frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} = 1$

Etapa 1.1.4.2

Multiplique $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ por $\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ .

$\frac{\sin (x) + 1}{(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) + 1)} + \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

Etapa 1.1.4.3

Reordene os fatores de $(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) + 1)$ .

$\frac{\sin (x) + 1}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} + \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

Etapa 1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin (x) + 1 + \frac{1}{\sin (x)} + 1}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

Etapa 1.1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (x) + 2 + \frac{1}{\sin (x)}}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

Etapa 1.1.7

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

Etapa 1.1.8

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)} = 1$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)$ .

$\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)} ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)) = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.1

Simplifique $\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)} ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$ .

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Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum de $(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)$ .

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Etapa 3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)} ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)) = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

Etapa 3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

Etapa 3.1.1.2

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\sin (x) + 2 + \frac{1}{\sin (x)} = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

Etapa 3.1.1.3

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$ .

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Etapa 3.2.1.1

Multiplique $(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)$ por $1$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = (\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = (\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Etapa 3.2.1.3

Expanda $(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) + 1 (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Etapa 3.2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 1 (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Etapa 3.2.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

Etapa 3.2.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.4.1.1

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 3.2.1.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

Etapa 3.2.1.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 + \sin (x) \cdot 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

Etapa 3.2.1.4.1.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 + \sin (x) + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

Etapa 3.2.1.4.1.3

Multiplique $\frac{1}{\sin (x)}$ por $1$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 + \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

Etapa 3.2.1.4.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 + \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} + 1$

Etapa 3.2.1.4.2

Some $1$ e $1$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 2 + \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 3.2.1.5

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 2 + \sin (x) + \csc (x)$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $\sin (x)$ dos dois lados da equação.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) - \sin (x) = 2 + \csc (x)$

Etapa 4.1.2

Subtraia $\csc (x)$ dos dois lados da equação.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) - \sin (x) - \csc (x) = 2$

Etapa 4.1.3

Combine os termos opostos em $\sin (x) + 2 + \csc (x) - \sin (x) - \csc (x)$ .

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Etapa 4.1.3.1

Subtraia $\sin (x)$ de $\sin (x)$ .

$0 + 2 + \csc (x) - \csc (x) = 2$

Etapa 4.1.3.2

Some $0$ e $2$ .

$2 + \csc (x) - \csc (x) = 2$

Etapa 4.1.3.3

Subtraia $\csc (x)$ de $\csc (x)$ .

$2 + 0 = 2$

Etapa 4.1.3.4

Some $2$ e $0$ .

$2 = 2$

Etapa 4.2

Como $2 = 2$ , a equação sempre será verdadeira para qualquer valor de $x$ .

Todos os números reais

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Todos os números reais

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$