Trigonometria Exemplos

$\frac{1}{1 - \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique $\frac{1}{1 - \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)}$ .

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Etapa 1.1.1

Para escrever $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Etapa 1.1.2

Para escrever $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Etapa 1.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ por $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Etapa 1.1.3.3

Reordene os fatores de $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Etapa 1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + \cos (x) + 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Etapa 1.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.5.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 + \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Etapa 1.1.5.2

Subtraia $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$\frac{2 + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Etapa 1.1.5.3

Some $2$ e $0$ .

$\frac{2}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

$\frac{2}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))) = 2 \csc^{2} (x) ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

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Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))) = 2 \csc^{2} (x) ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Etapa 3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 = 2 \csc^{2} (x) ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $2 \csc^{2} (x) ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$ .

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Etapa 3.2.1.1

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$2 = 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Etapa 3.2.1.2

Combine frações.

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Etapa 3.2.1.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$2 = 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Etapa 3.2.1.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 = 2 \frac{1}{\sin^{2} (x)} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Etapa 3.2.1.2.3

Combine $2$ e $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Etapa 3.2.1.3

Expanda $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x)))$

Etapa 3.2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x)))$

Etapa 3.2.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)))$

Etapa 3.2.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.4.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)))$

Etapa 3.2.1.4.1.2

Multiplique $- \cos (x)$ por $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)))$

Etapa 3.2.1.4.1.3

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x)))$

Etapa 3.2.1.4.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos (x) \cos (x))$

Etapa 3.2.1.4.1.5

Multiplique $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 3.2.1.4.1.5.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)))$

Etapa 3.2.1.4.1.5.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)))$

Etapa 3.2.1.4.1.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1})$

Etapa 3.2.1.4.1.5.4

Some $1$ e $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x))$

Etapa 3.2.1.4.2

Some $- \cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 + 0 - \cos^{2} (x))$

Etapa 3.2.1.4.3

Some $1$ e $0$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos^{2} (x))$

Etapa 3.2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x)$

Etapa 3.2.1.6

Cancele o fator comum de $\sin^{2} (x)$ .

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Etapa 3.2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x)$

Etapa 3.2.1.6.2

Reescreva a expressão.

$2 = 2$

Etapa 4

Como $2 = 2$ , a equação sempre será verdadeira para qualquer valor de $x$ .

Todos os números reais

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Todos os números reais

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$