Trigonometria Exemplos

$z^{4} + 4 \sqrt{2} z^{2} + 16 = 0$

Etapa 1

Substitua $u = z^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} + 4 \sqrt{2} u + 16 = 0$

$u = z^{2}$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 4 \sqrt{2}$ e $c = 16$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Aplique a regra do produto a $4 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3.5

Avalie o expoente.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4

Multiplique $16$ por $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Etapa 4.1.5.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5.2

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6

Subtraia $64$ de $32$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.7

Reescreva $- 32$ como $- 1 (32)$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.8

Reescreva $\sqrt{- 1 (32)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.9

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.10

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 4.1.10.1

Fatore $16$ de $32$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.10.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.11

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.12

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique $\frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ .

$u = - 2 \sqrt{2} \pm 2 i \sqrt{2}$

Etapa 5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Etapa 6

Substitua o valor real de $u = z^{2}$ de volta na equação resolvida.

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

${(z^{2})}^{1} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Etapa 7

Resolva a primeira equação para $z$ .

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

Etapa 8

Resolva a equação para $z$ .

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Etapa 8.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$z = \pm \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Etapa 8.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 8.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Etapa 8.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$z = - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Etapa 8.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Etapa 9

Resolva a segunda equação para $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Etapa 10

Resolva a equação para $z$ .

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Etapa 10.1

Remova os parênteses.

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Etapa 10.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$z = \pm \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Etapa 10.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 10.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Etapa 10.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$z = - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Etapa 10.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Etapa 11

A solução para $z^{4} + 4 \sqrt{2} z^{2} + 16 = 0$ é $z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$ .

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$