Trigonometria Exemplos

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$

Etapa 1

Como o radical está do lado direito da equação, troque os lados para que ele fique do lado esquerdo da equação.

$\frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} = \tan (x)$

Etapa 2

Calcule a regra de três.

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Etapa 2.1

Calcule a regra de três definindo o produto do numerador do lado direito e o denominador do lado esquerdo como igual ao produto do numerador do lado esquerdo e o denominador do lado direito.

$\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}) = \sin (x)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique $\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)})$ .

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Etapa 2.2.1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1 - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1^{2} - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

Etapa 2.2.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \sin (x)$

Etapa 2.2.1.4

Combine $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{\cos (x)} = \sin (x)$

Etapa 2.2.1.5

Separe as frações.

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sin (x)$

Etapa 2.2.1.6

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \tan (x) = \sin (x)$

Etapa 2.2.1.7

Divida $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ por $1$ .

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x) = \sin (x)$

Etapa 3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ como ${((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique ${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Expanda $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

${({(1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

${({(1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2.1.2.1.2

Multiplique $- \sin (x)$ por $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2.1.2.1.3

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin (x) \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2.1.2.1.5

Multiplique $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 4.2.1.2.1.5.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2.1.2.1.5.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2.1.2.1.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2.1.2.1.5.4

Some $1$ e $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2.1.2.2

Some $- \sin (x)$ e $\sin (x)$ .

${({(1 + 0 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2.1.2.3

Some $1$ e $0$ .

${({(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2.1.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

${({(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique os expoentes em ${(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.2.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2.1.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

${(\cos^{1} (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2.1.5

Simplifique.

${(\cos (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2.1.6

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.1.6.1

Reordene $\cos (x)$ e $\tan (x)$ .

${(\tan (x) \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2.1.6.2

Reescreva $\cos (x) \tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Etapa 4.2.1.6.3

Cancele os fatores comuns.

$\sin^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Como os expoentes são iguais, as bases deles nos dois lados da equação devem ser iguais.

$| \sin (x) | = | \sin (x) |$

Etapa 5.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.2.1

Reescreva a equação de valor absoluto como quatro equações sem barras de valor absoluto.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

$- \sin (x) = \sin (x)$

$- \sin (x) = - \sin (x)$

Etapa 5.2.2

Depois de simplificar, há apenas duas equações únicas para resolver.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

Etapa 5.2.3

Resolva $\sin (x) = \sin (x)$ para $x$ .

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Etapa 5.2.3.1

Para que as duas funções sejam iguais, os argumentos de cada uma delas devem ser iguais.

$x = x$

Etapa 5.2.3.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.3.2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x - x = 0$

Etapa 5.2.3.2.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$0 = 0$

Etapa 5.2.3.3

Como $0 = 0$ , a equação sempre será verdadeira.

Todos os números reais

Etapa 5.2.4

Resolva $\sin (x) = - \sin (x)$ para $x$ .

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Etapa 5.2.4.1

Mova todos os termos que contêm $\sin (x)$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.4.1.1

Some $\sin (x)$ aos dois lados da equação.

$\sin (x) + \sin (x) = 0$

Etapa 5.2.4.1.2

Some $\sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) = 0$

Etapa 5.2.4.2

Divida cada termo em $2 \sin (x) = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.2.4.2.1

Divida cada termo em $2 \sin (x) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.2.4.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

Etapa 5.2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.4.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 5.2.4.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 5.2.4.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.4.4.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.2.4.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 5.2.4.6

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 5.2.4.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 5.2.4.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.4.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.4.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.4.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.4.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Consolide as respostas.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$