Trigonometria Exemplos

$\sin (2 x) = 2 \sqrt{3} \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Subtraia $2 \sqrt{3} \cos^{2} (x)$ dos dois lados da equação.

$\sin (2 x) - 2 \sqrt{3} \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sqrt{3} \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 3

Fatore $2 \cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sqrt{3} \cos^{2} (x)$ .

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Etapa 3.1

Fatore $2 \cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sqrt{3} \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 3.2

Fatore $2 \cos (x)$ de $- 2 \sqrt{3} \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sqrt{3} \cos (x)) = 0$

Etapa 3.3

Fatore $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sqrt{3} \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x)) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x) = 0$

Etapa 5

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 5.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 5.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 5.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 5.2.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 5.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.2

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\tan (x) + \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.3.2

Divida $- \sqrt{3}$ por $1$ .

$\tan (x) - \sqrt{3} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.4

Separe as frações.

$\tan (x) - \sqrt{3} = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 6.2.5

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sqrt{3} = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 6.2.6

Divida $0$ por $1$ .

$\tan (x) - \sqrt{3} = 0 \sec (x)$

Etapa 6.2.7

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sqrt{3} = 0$

Etapa 6.2.8

Some $\sqrt{3}$ aos dois lados da equação.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Etapa 6.2.9

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Etapa 6.2.10

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.10.1

O valor exato de $\arctan (\sqrt{3})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.11

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.12

Simplifique $π + \frac{π}{3}$ .

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Etapa 6.2.12.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.12.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.12.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.12.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Etapa 6.2.12.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.12.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Etapa 6.2.12.3.2

Some $3 π$ e $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 6.2.13

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 6.2.13.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 6.2.13.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.13.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 6.2.13.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 6.2.14

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $2 \cos (x) (\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide as respostas.

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Etapa 8.1

Consolide $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ em $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8.2

Consolide $\frac{π}{3} + π n$ e $\frac{4 π}{3} + π n$ em $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$