Trigonometria Exemplos

$\sin (2 t) + \sqrt{2} \sin (t) = 0$

Etapa 1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \sin (t) \cos (t) + \sqrt{2} \sin (t) = 0$

Etapa 2

Fatore $\sin (t)$ de $2 \sin (t) \cos (t) + \sqrt{2} \sin (t)$ .

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Etapa 2.1

Fatore $\sin (t)$ de $2 \sin (t) \cos (t)$ .

$\sin (t) (2 \cos (t)) + \sqrt{2} \sin (t) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $\sin (t)$ de $\sqrt{2} \sin (t)$ .

$\sin (t) (2 \cos (t)) + \sin (t) \sqrt{2} = 0$

Etapa 2.3

Fatore $\sin (t)$ de $\sin (t) (2 \cos (t)) + \sin (t) \sqrt{2}$ .

$\sin (t) (2 \cos (t) + \sqrt{2}) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (t) = 0$

$2 \cos (t) + \sqrt{2} = 0$

Etapa 4

Defina $\sin (t)$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

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Etapa 4.1

Defina $\sin (t)$ como igual a $0$ .

$\sin (t) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\sin (t) = 0$ para $t$ .

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Etapa 4.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $t$ de dentro do seno.

$t = \arcsin (0)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$t = 0$

Etapa 4.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$t = π - 0$

Etapa 4.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$t = π$

Etapa 4.2.5

Encontre o período de $\sin (t)$ .

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Etapa 4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.6

O período da função $\sin (t)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$t = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $2 \cos (t) + \sqrt{2}$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

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Etapa 5.1

Defina $2 \cos (t) + \sqrt{2}$ como igual a $0$ .

$2 \cos (t) + \sqrt{2} = 0$

Etapa 5.2

Resolva $2 \cos (t) + \sqrt{2} = 0$ para $t$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $\sqrt{2}$ dos dois lados da equação.

$2 \cos (t) = - \sqrt{2}$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $2 \cos (t) = - \sqrt{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $2 \cos (t) = - \sqrt{2}$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (t)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (t)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $\cos (t)$ por $1$ .

$\cos (t) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (t) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $t$ de dentro do cosseno.

$t = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 5.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.4.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{3 π}{4}$ .

$t = \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.2.5

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$t = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.2.6

Simplifique $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Etapa 5.2.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$t = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$t = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$t = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Etapa 5.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.6.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$t = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Etapa 5.2.6.3.2

Subtraia $3 π$ de $8 π$ .

$t = \frac{5 π}{4}$

Etapa 5.2.7

Encontre o período de $\cos (t)$ .

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Etapa 5.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.8

O período da função $\cos (t)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$t = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $\sin (t) (2 \cos (t) + \sqrt{2}) = 0$ verdadeiro.

$t = 2 π n, π + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Consolide $2 π n$ e $π + 2 π n$ em $π n$ .

$t = π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$