Trigonometria Exemplos

$\sin (\frac{a}{2}) = - \sqrt{\frac{1 - \cos (a)}{2}}$

Etapa 1

Como o radical está do lado direito da equação, troque os lados para que ele fique do lado esquerdo da equação.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (a)}{2}} = \sin (\frac{a}{2})$

Etapa 2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(- \sqrt{\frac{1 - \cos (a)}{2}})}^{2} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Etapa 3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\frac{1 - \cos (a)}{2}}$ como ${(\frac{1 - \cos (a)}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(\frac{1 - \cos (a)}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique ${(- {(\frac{1 - \cos (a)}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1 - \cos (a)}{2}$ .

${(- \frac{{(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Etapa 3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.2.1.2.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{{(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{{(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Etapa 3.2.1.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{{(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{{({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Etapa 3.2.1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.1.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 \frac{{({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Etapa 3.2.1.3.2

Multiplique $\frac{{({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{{({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Etapa 3.2.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1.4.1

Multiplique os expoentes em ${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.4.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Etapa 3.2.1.4.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.4.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Etapa 3.2.1.4.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(1 - \cos (a))}^{1}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Etapa 3.2.1.4.2

Simplifique.

$\frac{1 - \cos (a)}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Etapa 3.2.1.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.1.5.1

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 - \cos (a)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Etapa 3.2.1.5.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.5.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - \cos (a)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Etapa 3.2.1.5.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - \cos (a)}{2^{1}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Etapa 3.2.1.5.2

Avalie o expoente.

$\frac{1 - \cos (a)}{2} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Etapa 4

Resolva $a$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ dos dois lados da equação.

$\frac{1 - \cos (a)}{2} - \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Etapa 4.2

Simplifique $\frac{1 - \cos (a)}{2} - \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

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Etapa 4.2.1

Para escrever $- \sin^{2} (\frac{a}{2})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \cos (a)}{2} - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot \frac{2}{2} = 0$

Etapa 4.2.2

Combine $- \sin^{2} (\frac{a}{2})$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \cos (a)}{2} + \frac{- \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot 2}{2} = 0$

Etapa 4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot 2}{2} = 0$

Etapa 4.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1 - \cos (a) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2})}{2} = 0$

Etapa 4.2.4.2

Mova $- 2 \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$\frac{1 - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a)}{2} = 0$

Etapa 4.2.4.3

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$\frac{\cos (2 \frac{a}{2}) - \cos (a)}{2} = 0$

Etapa 4.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (2 \frac{a}{2}) - \cos (a)}{2} = 0$

Etapa 4.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos (a) - \cos (a)}{2} = 0$

Etapa 4.2.4.5

Subtraia $\cos (a)$ de $\cos (a)$ .

$\frac{0}{2} = 0$

Etapa 4.2.5

Divida $0$ por $2$ .

$0 = 0$

Etapa 4.3

Como $0 = 0$ , a equação sempre será verdadeira para qualquer valor de $a$ .

Todos os números reais

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Todos os números reais

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$