Trigonometria Exemplos

$\sec (\frac{3 x}{2}) = - 2$

Etapa 1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$\frac{3 x}{2} = arcsec (- 2)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $arcsec (- 2)$ é $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{3 x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Etapa 3

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 4

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.1

Simplifique $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

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Etapa 4.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 4.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 4.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 4.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 4.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3 \cdot 3}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$x = \frac{4 π}{9}$

Etapa 5

A função secante é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$\frac{3 x}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Etapa 6.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1.1

Simplifique $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

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Etapa 6.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Etapa 6.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Etapa 6.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.2.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Etapa 6.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Etapa 6.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique $\frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2}{3} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Etapa 6.2.2.1.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.2.1.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2}{3} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Etapa 6.2.2.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.2.1.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

Etapa 6.2.2.1.3.2

Subtraia $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$

Etapa 6.2.2.1.4

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$ .

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Etapa 6.2.2.1.4.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{4 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (4 π)}{3 \cdot 3}$

Etapa 6.2.2.1.4.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π}{3 \cdot 3}$

Etapa 6.2.2.1.4.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$x = \frac{8 π}{9}$

Etapa 7

Encontre o período de $\sec (\frac{3 x}{2})$ .

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Etapa 7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.2

Substitua $b$ por $\frac{3}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

Etapa 7.3

$\frac{3}{2}$ é aproximadamente $1.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{2}{3}$

Etapa 7.5

Multiplique $2 π \frac{2}{3}$ .

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Etapa 7.5.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Etapa 7.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Etapa 7.5.3

Combine $\frac{4}{3}$ e $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Etapa 8

O período da função $\sec (\frac{3 x}{2})$ é $\frac{4 π}{3}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{4 π}{3}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{4 π}{9} + \frac{4 π n}{3}, \frac{8 π}{9} + \frac{4 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$