Trigonometria Exemplos

$\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$

Etapa 1

Subtraia $\sin (2 x)$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{2 \cos (x)} = - \sin (2 x)$

Etapa 2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{2 \cos (x)}}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Etapa 3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 \cos (x)}$ como ${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(2 \cos (x))}^{1} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique.

$2 \cos (x) = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique ${(- \sin (2 x))}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sin (2 x)$ .

$2 \cos (x) = {(- 1)}^{2} \sin^{2} (2 x)$

Etapa 3.3.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$2 \cos (x) = 1 \sin^{2} (2 x)$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $\sin^{2} (2 x)$ por $1$ .

$2 \cos (x) = \sin^{2} (2 x)$

Etapa 4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Subtraia $\sin^{2} (2 x)$ dos dois lados da equação.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Etapa 4.2

Substitua $\sin^{2} (2 x)$ por $1 - \cos^{2} (2 x)$ .

$2 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (2 x)) = 0$

Etapa 4.3

Simplifique o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \cos (x) - {(2 \sin (x) \cos (x))}^{2} = 0$

Etapa 4.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Aplique a regra do produto a $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) - ({(2 \sin (x))}^{2} \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 4.3.2.2.2

Aplique a regra do produto a $2 \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2^{2} \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 4.3.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$2 \cos (x) - (4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 4.3.2.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 4.4

Fatore $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Fatore $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 4.4.2

Fatore $2 \cos (x)$ de $- 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

Etapa 4.4.3

Fatore $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

Etapa 4.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Etapa 4.6

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 4.6.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 4.6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4.6.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 4.6.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.6.2.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.6.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 4.6.2.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 4.6.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 4.6.2.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.6.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.6.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.6.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.6.2.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.7

Defina $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Defina $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ como igual a $0$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Etapa 4.7.2

Resolva $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.1

Substitua $\sin^{2} (x)$ por $1 - \cos^{2} (x)$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 (1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

Etapa 4.7.2.2

Multiplique $1 - \cos^{2} (x)$ por $1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

Etapa 4.7.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

Etapa 4.7.2.4

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

Etapa 4.7.2.5

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.5.1

Mova $\cos (x)$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 4.7.2.5.2

Multiplique $\cos (x)$ por $\cos^{2} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.5.2.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 4.7.2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 2} = 0$

Etapa 4.7.2.5.3

Some $1$ e $2$ .

$\cos (x) - \cos^{3} (x) = 0$

Etapa 4.7.2.6

Reordene o polinômio.

$- \cos^{3} (x) + \cos (x) = 0$

Etapa 4.7.2.7

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

$- {(u)}^{3} + u = 0$

Etapa 4.7.2.8

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.8.1

Fatore $- u$ de $- u^{3} + u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.8.1.1

Fatore $- u$ de $- u^{3}$ .

$- u \cdot u^{2} + u = 0$

Etapa 4.7.2.8.1.2

Reescreva $u$ como $1 u$ .

$- u \cdot u^{2} + 1 u = 0$

Etapa 4.7.2.8.1.3

Fatore $- u$ de $1 u$ .

$- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1 = 0$

Etapa 4.7.2.8.1.4

Fatore $- u$ de $- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1$ .

$- u (u^{2} - 1) = 0$

Etapa 4.7.2.8.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- u (u^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 4.7.2.8.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.8.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = u$ e $b = 1$ .

$- u ((u + 1) (u - 1)) = 0$

Etapa 4.7.2.8.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- u (u + 1) (u - 1) = 0$

Etapa 4.7.2.9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u = 0$

$u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Etapa 4.7.2.10

Defina $u$ como igual a $0$ .

$u = 0$

Etapa 4.7.2.11

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.11.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 4.7.2.11.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 4.7.2.12

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.12.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 4.7.2.12.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 4.7.2.13

A solução final são todos os valores que tornam $- u (u + 1) (u - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 0, - 1, 1$

Etapa 4.7.2.14

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = 0, - 1, 1$

Etapa 4.7.2.15

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) = - 1$

$\cos (x) = 1$

Etapa 4.7.2.16

Resolva $x$ em $\cos (x) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.16.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 4.7.2.16.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.16.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4.7.2.16.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 4.7.2.16.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.16.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.7.2.16.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.16.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.7.2.16.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 4.7.2.16.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.16.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 4.7.2.16.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 4.7.2.16.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.16.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.7.2.16.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.7.2.16.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.7.2.16.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.7.2.16.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.7.2.17

Resolva $x$ em $\cos (x) = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.17.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- 1)$

Etapa 4.7.2.17.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.17.2.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$x = π$

Etapa 4.7.2.17.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - π$

Etapa 4.7.2.17.4

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Etapa 4.7.2.17.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.17.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.7.2.17.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.7.2.17.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.7.2.17.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.7.2.17.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.7.2.18

Resolva $x$ em $\cos (x) = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.18.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (1)$

Etapa 4.7.2.18.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.18.2.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.7.2.18.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Etapa 4.7.2.18.4

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Etapa 4.7.2.18.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.18.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.7.2.18.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.7.2.18.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.7.2.18.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.7.2.18.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.7.2.19

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.7.2.20

Consolide as respostas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.8

A solução final são todos os valores que tornam $2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Consolide as respostas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Consolide $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ em $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2

Consolide $\frac{π}{2} + π n$ e $\frac{π n}{2}$ em $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Verifique as soluções, substituindo-as em $\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$ e resolvendo.

$x = 4.71238898, 10.99557428$ , para qualquer número inteiro $n$