Trigonometria Exemplos

$\sin (2 x) = \cos (3 x)$

Etapa 1

Subtraia $\cos (3 x)$ dos dois lados da equação.

$\sin (2 x) - \cos (3 x) = 0$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (3 x) = 0$

Etapa 2.2

Use a fórmula do arco triplo para transformar $\cos (3 x)$ em $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) = 0$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x)) - (- 3 \cos (x)) = 0$

Etapa 2.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) - (- 3 \cos (x)) = 0$

Etapa 2.5

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

Etapa 3

Fatore $\cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $\cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

Etapa 3.2

Fatore $\cos (x)$ de $- 4 \cos^{3} (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + 3 \cos (x) = 0$

Etapa 3.3

Fatore $\cos (x)$ de $3 \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

Etapa 3.4

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x))$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

Etapa 3.5

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Etapa 5

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 5.2.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 5.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 5.2.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ como igual a $0$ .

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Substitua $- 4 \cos^{2} (x)$ por $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Etapa 6.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$2 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Etapa 6.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$2 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Etapa 6.2.3

Some $- 4$ e $3$ .

$2 \sin (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 6.2.4

Reordene o polinômio.

$4 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 6.2.5

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

Etapa 6.2.6

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6.2.7

Substitua os valores $a = 4$ , $b = 2$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.8.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.8.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.8.1.3

Some $4$ e $16$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.8.1.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.8.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.8.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.8.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Etapa 6.2.8.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Etapa 6.2.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Etapa 6.2.10

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Etapa 6.2.11

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Etapa 6.2.12

Resolva $x$ em $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.12.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

Etapa 6.2.12.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.12.2.1

Avalie $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = \frac{π}{10}$

Etapa 6.2.12.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π$

Etapa 6.2.12.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.12.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π - \frac{π}{10} + π$ .

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π - 2 π$

Etapa 6.2.12.4.2

O ângulo resultante de $\frac{9 π}{10}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π - \frac{π}{10} + π$ .

$x = \frac{9 π}{10}$

Etapa 6.2.12.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.12.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2.12.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.12.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.2.12.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.2.12.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6.2.13

Resolva $x$ em $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.13.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

Etapa 6.2.13.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.13.2.1

Avalie $\arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = - \frac{3 π}{10}$

Etapa 6.2.13.3

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π$

Etapa 6.2.13.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.13.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ .

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π - 2 π$

Etapa 6.2.13.4.2

O ângulo resultante de $\frac{13 π}{10}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ .

$x = \frac{13 π}{10}$

Etapa 6.2.13.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.13.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2.13.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.13.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.2.13.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.2.13.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.13.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{3 π}{10}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{3 π}{10} + 2 π$

Etapa 6.2.13.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{10}{10}$ .

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Etapa 6.2.13.6.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.13.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Etapa 6.2.13.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 10 - 3 π}{10}$

Etapa 6.2.13.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.13.6.4.1

Multiplique $10$ por $2$ .

$\frac{20 π - 3 π}{10}$

Etapa 6.2.13.6.4.2

Subtraia $3 π$ de $20 π$ .

$\frac{17 π}{10}$

Etapa 6.2.13.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{17 π}{10}$

Etapa 6.2.13.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6.2.14

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ em $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$