Trigonometria Exemplos

$\sin (\frac{x}{2}) = \cos (\frac{x}{2})$

Etapa 1

Divida cada termo na equação por $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})} = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$

Etapa 2

Converta de $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ em $\tan (\frac{x}{2})$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$

Etapa 3

Cancele o fator comum de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$

Etapa 3.2

Reescreva a expressão.

$\tan (\frac{x}{2}) = 1$

Etapa 4

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$\frac{x}{2} = \arctan (1)$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Etapa 6

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Etapa 7

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 7.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Etapa 7.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Etapa 7.2.1.2

Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.1.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 8

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{x}{2} = π + \frac{π}{4}$

Etapa 9

Resolva $x$ .

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Etapa 9.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{4})$

Etapa 9.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 9.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{4})$

Etapa 9.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 (π + \frac{π}{4})$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.2.1

Simplifique $2 (π + \frac{π}{4})$ .

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Etapa 9.2.2.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

Etapa 9.2.2.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 9.2.2.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4})$

Etapa 9.2.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 9.2.2.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.2.1.2.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{2 (2)}$

Etapa 9.2.2.1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.2.2.1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{2}$

Etapa 9.2.2.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.2.1.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{2}$

Etapa 9.2.2.1.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{2}$

Etapa 10

Encontre o período de $\tan (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 10.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 10.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 10.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 10.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$π \cdot 2$

Etapa 10.5

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$2 π$

Etapa 11

O período da função $\tan (\frac{x}{2})$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$