Trigonometria Exemplos

$\csc (\frac{3 π}{4}) = \sin (x)$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\sin (x) = \csc (\frac{3 π}{4})$ .

$\sin (x) = \csc (\frac{3 π}{4})$

Etapa 2

Simplifique a expressão usando a fórmula $h a l f - a n g l e$ .

$\pm \sqrt{1 - \frac{\cos (2 x)}{2}} = \csc (\frac{3 π}{4})$

Etapa 3

Remova o $\pm$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{1 - \frac{\cos (2 x)}{2}} = \csc (\frac{3 π}{4})$

Etapa 4

Como as raízes quadradas de cada expressão são iguais, a expressão dentro da raiz quadrada também deve ser igual.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2} = \csc (\frac{3 π}{4})$

Etapa 5

Simplifique $\csc (\frac{3 π}{4})$ .

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Etapa 5.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2} = \csc (\frac{π}{4})$

Etapa 5.2

O valor exato de $\csc (\frac{π}{4})$ é $\sqrt{2}$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2} = \sqrt{2}$

Etapa 6

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \frac{\cos (2 x)}{2} = \sqrt{2} - 1$

Etapa 7

Multiplique os dois lados da equação por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{\cos (2 x)}{2}) = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Etapa 8

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 8.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.1.1

Simplifique $- 2 (- \frac{\cos (2 x)}{2})$ .

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Etapa 8.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\cos (2 x)}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- \cos (2 x)}{2} = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Etapa 8.1.1.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \cos (2 x)}{2} = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Etapa 8.1.1.1.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- \cos (2 x)}{2} = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Etapa 8.1.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- - \cos (2 x) = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Etapa 8.1.1.2

Multiplique.

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Etapa 8.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \cos (2 x) = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Etapa 8.1.1.2.2

Multiplique $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Etapa 8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.1

Simplifique $- 2 (\sqrt{2} - 1)$ .

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Etapa 8.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (2 x) = - 2 \sqrt{2} - 2 \cdot - 1$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\cos (2 x) = - 2 \sqrt{2} + 2$

Etapa 9

Converta o lado direito da equação em seu equivalente decimal.

$\cos (2 x) = - 0.82842712$

Etapa 10

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$2 x = \arccos (- 0.82842712)$

Etapa 11

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.1

Avalie $\arccos (- 0.82842712)$ .

$2 x = 2.54708993$

Etapa 12

Divida cada termo em $2 x = 2.54708993$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 12.1

Divida cada termo em $2 x = 2.54708993$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.54708993}{2}$

Etapa 12.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 12.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.54708993}{2}$

Etapa 12.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2.54708993}{2}$

Etapa 12.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.3.1

Divida $2.54708993$ por $2$ .

$x = 1.27354496$

Etapa 13

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$2 x = 2 (3.14159265) - 2.54708993$

Etapa 14

Resolva $x$ .

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Etapa 14.1

Simplifique.

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Etapa 14.1.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$2 x = 6.2831853 - 2.54708993$

Etapa 14.1.2

Subtraia $2.54708993$ de $6.2831853$ .

$2 x = 3.73609537$

Etapa 14.2

Divida cada termo em $2 x = 3.73609537$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 14.2.1

Divida cada termo em $2 x = 3.73609537$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3.73609537}{2}$

Etapa 14.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 14.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3.73609537}{2}$

Etapa 14.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3.73609537}{2}$

Etapa 14.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 14.2.3.1

Divida $3.73609537$ por $2$ .

$x = 1.86804768$

Etapa 15

Encontre o período de $\cos (2 x)$ .

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Etapa 15.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 15.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 15.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 15.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 15.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 16

O período da função $\cos (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.27354496 + π n, 1.86804768 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 17

Exclua as soluções que não tornam $\csc (\frac{3 π}{4}) = \sin (x)$ verdadeira.

Nenhuma solução