Trigonometria Exemplos

$\csc (x) - \sin (x) = \cot (x) \cos (x)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \cot (x) \cos (x)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

Simplifique $\cot (x) \cos (x)$ .

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Etapa 2.1.1

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$

Etapa 2.1.2

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

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Etapa 2.1.2.1

Combine $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.1.2.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.1.2.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Etapa 2.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3

Multiplique os dois lados da equação por $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 4

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum.

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão.

$1 + \sin (x) (- \sin (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 - \sin (x) \sin (x) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7

Multiplique $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 7.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$1 - (\sin^{1} (x) \sin (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$1 - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 - {\sin (x)}^{1 + 1} = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 7.4

Some $1$ e $1$ .

$1 - \sin^{2} (x) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 8

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 9.2

Reescreva a expressão.

$\cos^{2} (x) = \cos^{2} (x)$

Etapa 10

Como os expoentes são iguais, as bases deles nos dois lados da equação devem ser iguais.

$| \cos (x) | = | \cos (x) |$

Etapa 11

Resolva $x$ .

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Etapa 11.1

Reescreva a equação de valor absoluto como quatro equações sem barras de valor absoluto.

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

$- \cos (x) = \cos (x)$

$- \cos (x) = - \cos (x)$

Etapa 11.2

Depois de simplificar, há apenas duas equações únicas para resolver.

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

Etapa 11.3

Resolva $\cos (x) = \cos (x)$ para $x$ .

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Etapa 11.3.1

Para que as duas funções sejam iguais, os argumentos de cada uma delas devem ser iguais.

$x = x$

Etapa 11.3.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 11.3.2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x - x = 0$

Etapa 11.3.2.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$0 = 0$

Etapa 11.3.3

Como $0 = 0$ , a equação sempre será verdadeira.

Todos os números reais

Etapa 11.4

Resolva $\cos (x) = - \cos (x)$ para $x$ .

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Etapa 11.4.1

Mova todos os termos que contêm $\cos (x)$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 11.4.1.1

Some $\cos (x)$ aos dois lados da equação.

$\cos (x) + \cos (x) = 0$

Etapa 11.4.1.2

Some $\cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) = 0$

Etapa 11.4.2

Divida cada termo em $2 \cos (x) = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 11.4.2.1

Divida cada termo em $2 \cos (x) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 11.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 11.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 11.4.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{2}$

Etapa 11.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.4.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 11.4.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 11.4.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.4.4.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 11.4.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 11.4.6

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 11.4.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 11.4.6.2

Combine frações.

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Etapa 11.4.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 11.4.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 11.4.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.4.6.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 11.4.6.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 11.4.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 11.4.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 11.4.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 11.4.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 11.4.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 11.4.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$