Trigonometria Exemplos

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos (67.5)}{2}}$

Etapa 1

Simplifique $\sqrt{\frac{1 + \cos (67.5)}{2}}$ .

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Etapa 1.1

O valor exato de $\cos (67.5)$ é $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Etapa 1.1.1

Reescreva $67.5$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{135}{2})}{2}}$

Etapa 1.1.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}}{2}}$

Etapa 1.1.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o cosseno é positivo no primeiro quadrante.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}}{2}}$

Etapa 1.1.4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}$ .

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Etapa 1.1.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}}}{2}}$

Etapa 1.1.4.2

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

Etapa 1.1.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

Etapa 1.1.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

Etapa 1.1.4.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 1.1.4.6

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.4.6.1

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}{2}}$

Etapa 1.1.4.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}}{2}}$

Etapa 1.1.4.7

Reescreva $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}{2}}$

Etapa 1.1.4.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.4.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}{2}}$

Etapa 1.1.4.8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

Etapa 1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

Etapa 1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 1.5

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.5.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{4}}$

Etapa 1.6

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 1.7

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 1.7.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2}$

Etapa 2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$\frac{x}{2} = \arccos (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2})$

Etapa 3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1

Avalie $\arccos (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2})$ .

$\frac{x}{2} = 33.75$

Etapa 4

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 33.75$

Etapa 5

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 33.75$

Etapa 5.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 \cdot 33.75$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $33.75$ .

$x = 67.5$

Etapa 6

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $360$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{x}{2} = 360 - 33.75$

Etapa 7

Resolva $x$ .

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Etapa 7.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (360 - 33.75)$

Etapa 7.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 (360 - 33.75)$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 (360 - 33.75)$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

Simplifique $2 (360 - 33.75)$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Subtraia $33.75$ de $360$ .

$x = 2 \cdot 326.25$

Etapa 7.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $326.25$ .

$x = 652.5$

Etapa 8

Encontre o período de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 8.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 8.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{360}{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$360 \cdot 2$

Etapa 8.5

Multiplique $360$ por $2$ .

$720$

Etapa 9

O período da função $\cos (\frac{x}{2})$ é $720$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $720$ graus nas duas direções.

$x = 67.5 + 720 n, 652.5 + 720 n$ , para qualquer número inteiro $n$