Trigonometria Exemplos

$\cos (2 x) + \cos (x) = 2$

Etapa 1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\cos (2 x) + \cos (x) - 2 = 0$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (x) - 2 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 3 + \cos (x) = 0$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reordene os termos.

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 3 = 0$

Etapa 3.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e cuja soma é $b = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique por $1$ .

$2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 3 = 0$

Etapa 3.2.2

Reescreva $1$ como $- 2$ mais $3$

$2 \cos^{2} (x) + (- 2 + 3) \cos (x) - 3 = 0$

Etapa 3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 3 \cos (x) - 3 = 0$

Etapa 3.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 3 \cos (x) - 3 = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 \cos (x) (\cos (x) - 1) + 3 (\cos (x) - 1) = 0$

Etapa 3.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $\cos (x) - 1$ .

$(\cos (x) - 1) (2 \cos (x) + 3) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

$2 \cos (x) + 3 = 0$

Etapa 5

Defina $\cos (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $\cos (x) - 1$ como igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\cos (x) - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\cos (x) = 1$

Etapa 5.2.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (1)$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.2.4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Etapa 5.2.5

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Etapa 5.2.6

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.7

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $2 \cos (x) + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $2 \cos (x) + 3$ como igual a $0$ .

$2 \cos (x) + 3 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $2 \cos (x) + 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 \cos (x) = - 3$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $2 \cos (x) = - 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $2 \cos (x) = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 3}{2}$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (x) = - \frac{3}{2}$

Etapa 6.2.3

O intervalo do cosseno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- \frac{3}{2}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(\cos (x) - 1) (2 \cos (x) + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide as respostas.

$x = 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$