Trigonometria Exemplos

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - \sin^{2} (3 y)$

Etapa 1

Simplifique $\cos^{2} (3 y) - \sin^{2} (3 y)$ .

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Etapa 1.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \cos (3 y)$ e $b = \sin (3 y)$ .

$\cos (6 y) = (\cos (3 y) + \sin (3 y)) (\cos (3 y) - \sin (3 y))$

Etapa 1.2

Expanda $(\cos (3 y) + \sin (3 y)) (\cos (3 y) - \sin (3 y))$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (6 y) = \cos (3 y) (\cos (3 y) - \sin (3 y)) + \sin (3 y) (\cos (3 y) - \sin (3 y))$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) + \cos (3 y) (- \sin (3 y)) + \sin (3 y) (\cos (3 y) - \sin (3 y))$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) + \cos (3 y) (- \sin (3 y)) + \sin (3 y) \cos (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Etapa 1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.1

Combine os termos opostos em $\cos (3 y) \cos (3 y) + \cos (3 y) (- \sin (3 y)) + \sin (3 y) \cos (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $\cos (3 y) (- \sin (3 y))$ e $\sin (3 y) \cos (3 y)$ .

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) - \cos (3 y) \sin (3 y) + \cos (3 y) \sin (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Etapa 1.3.1.2

Some $- \cos (3 y) \sin (3 y)$ e $\cos (3 y) \sin (3 y)$ .

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) + 0 + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Etapa 1.3.1.3

Some $\cos (3 y) \cos (3 y)$ e $0$ .

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Etapa 1.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.1

Multiplique $\cos (3 y) \cos (3 y)$ .

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Etapa 1.3.2.1.1

Eleve $\cos (3 y)$ à potência de $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{1} (3 y) \cos (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Etapa 1.3.2.1.2

Eleve $\cos (3 y)$ à potência de $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{1} (3 y) \cos^{1} (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Etapa 1.3.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (6 y) = {\cos (3 y)}^{1 + 1} + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Etapa 1.3.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - \sin (3 y) \sin (3 y)$

Etapa 1.3.2.3

Multiplique $- \sin (3 y) \sin (3 y)$ .

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Etapa 1.3.2.3.1

Eleve $\sin (3 y)$ à potência de $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - (\sin^{1} (3 y) \sin (3 y))$

Etapa 1.3.2.3.2

Eleve $\sin (3 y)$ à potência de $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - (\sin^{1} (3 y) \sin^{1} (3 y))$

Etapa 1.3.2.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - {\sin (3 y)}^{1 + 1}$

Etapa 1.3.2.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - \sin^{2} (3 y)$

Etapa 1.4

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$\cos (6 y) = \cos (2 (3 y))$

Etapa 1.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$\cos (6 y) = \cos (6 y)$

Etapa 2

Para que as duas funções sejam iguais, os argumentos de cada uma delas devem ser iguais.

$6 y = 6 y$

Etapa 3

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Subtraia $6 y$ dos dois lados da equação.

$6 y - 6 y = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $6 y$ de $6 y$ .

$0 = 0$

Etapa 4

Como $0 = 0$ , a equação sempre será verdadeira para qualquer valor de $y$ .

Todos os números reais

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Todos os números reais

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$