Trigonometria Exemplos

$6 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) - 6 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\sin (x)$ .

$6 u^{2} + 5 u - 6 = 0$

Etapa 1.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 6 \cdot - 6 = - 36$ e cuja soma é $b = 5$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $5$ de $5 u$ .

$6 u^{2} + 5 (u) - 6 = 0$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva $5$ como $- 4$ mais $9$

$6 u^{2} + (- 4 + 9) u - 6 = 0$

Etapa 1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 u^{2} - 4 u + 9 u - 6 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(6 u^{2} - 4 u) + 9 u - 6 = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 u (3 u - 2) + 3 (3 u - 2) = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 u - 2$ .

$(3 u - 2) (2 u + 3) = 0$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$(3 \sin (x) - 2) (2 \sin (x) + 3) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 \sin (x) - 2 = 0$

$2 \sin (x) + 3 = 0$

Etapa 3

Defina $3 \sin (x) - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $3 \sin (x) - 2$ como igual a $0$ .

$3 \sin (x) - 2 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $3 \sin (x) - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$3 \sin (x) = 2$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $3 \sin (x) = 2$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $3 \sin (x) = 2$ por $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{2}{3}$

Etapa 3.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{2}{3})$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.4.1

Avalie $\arcsin (\frac{2}{3})$ .

$x = 0.72972765$

Etapa 3.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = (3.14159265) - 0.72972765$

Etapa 3.2.6

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.6.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 - 0.72972765$

Etapa 3.2.6.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) - 0.72972765$

Etapa 3.2.6.3

Subtraia $0.72972765$ de $3.14159265$ .

$x = 2.41186499$

Etapa 3.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 3.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.72972765 + 2 π n, 2.41186499 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $2 \sin (x) + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $2 \sin (x) + 3$ como igual a $0$ .

$2 \sin (x) + 3 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $2 \sin (x) + 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 \sin (x) = - 3$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $2 \sin (x) = - 3$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $2 \sin (x) = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 3}{2}$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (x) = - \frac{3}{2}$

Etapa 4.2.3

O intervalo do seno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- \frac{3}{2}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(3 \sin (x) - 2) (2 \sin (x) + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0.72972765 + 2 π n, 2.41186499 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$