Trigonometria Exemplos

$5 \sin (3 x) + 6 \cos (3 x) = 1$

Etapa 1

Use a fórmula para resolver a equação. Nesta fórmula, $θ$ representa o ângulo criado ao plotar o ponto $(a, b)$ em um gráfico e, portanto, pode ser encontrado usando $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ em que $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ e $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Etapa 2

Estabeleça a equação para encontrar o valor de $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{6}{5})$

Etapa 3

Avalie $\tan^{-1} (\frac{6}{5})$ .

$θ = 0.87605805$

Etapa 4

Resolva para encontrar o valor de $R$ .

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Etapa 4.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$R = \sqrt{25 + {(6)}^{2}}$

Etapa 4.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$R = \sqrt{25 + 36}$

Etapa 4.3

Some $25$ e $36$ .

$R = \sqrt{61}$

Etapa 5

Substitua os valores conhecidos na equação.

$(\sqrt{61}) \sin (3 x + 0.87605805) = 1$

Etapa 6

Divida cada termo em $\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ por $\sqrt{61}$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ por $\sqrt{61}$ .

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{61}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $\sin (3 x + 0.87605805)$ por $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{61}}$ por $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}} \cdot \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$

Etapa 6.3.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{61}}$ por $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61} \sqrt{61}}$

Etapa 6.3.2.2

Eleve $\sqrt{61}$ à potência de $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} \sqrt{61}}$

Etapa 6.3.2.3

Eleve $\sqrt{61}$ à potência de $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} {\sqrt{61}}^{1}}$

Etapa 6.3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{2}}$

Etapa 6.3.2.6

Reescreva ${\sqrt{61}}^{2}$ como $61$ .

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Etapa 6.3.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{61}$ como $61^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{(61^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.3.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.3.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{1}}$

Etapa 6.3.2.6.5

Avalie o expoente.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61}$

Etapa 7

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$3 x + 0.87605805 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$

Etapa 8

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.1

Avalie $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$ .

$3 x + 0.87605805 = 0.12838931$

Etapa 9

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1

Subtraia $0.87605805$ dos dois lados da equação.

$3 x = 0.12838931 - 0.87605805$

Etapa 9.2

Subtraia $0.87605805$ de $0.12838931$ .

$3 x = - 0.74766873$

Etapa 10

Divida cada termo em $3 x = - 0.74766873$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 10.1

Divida cada termo em $3 x = - 0.74766873$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

Etapa 10.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 10.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

Etapa 10.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 0.74766873}{3}$

Etapa 10.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.3.1

Divida $- 0.74766873$ por $3$ .

$x = - 0.24922291$

Etapa 11

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$3 x + 0.87605805 = (3.14159265) - 0.12838931$

Etapa 12

Resolva $x$ .

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Etapa 12.1

Subtraia $0.12838931$ de $3.14159265$ .

$3 x + 0.87605805 = 3.01320333$

Etapa 12.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.2.1

Subtraia $0.87605805$ dos dois lados da equação.

$3 x = 3.01320333 - 0.87605805$

Etapa 12.2.2

Subtraia $0.87605805$ de $3.01320333$ .

$3 x = 2.13714528$

Etapa 12.3

Divida cada termo em $3 x = 2.13714528$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 12.3.1

Divida cada termo em $3 x = 2.13714528$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

Etapa 12.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 12.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 12.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

Etapa 12.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2.13714528}{3}$

Etapa 12.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.3.3.1

Divida $2.13714528$ por $3$ .

$x = 0.71238176$

Etapa 13

Encontre o período de $\sin (3 x + 0.87605805)$ .

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Etapa 13.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 13.2

Substitua $b$ por $3$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Etapa 13.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 14

Some $\frac{2 π}{3}$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 14.1

Some $\frac{2 π}{3}$ com $- 0.24922291$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 0.24922291 + \frac{2 π}{3}$

Etapa 14.2

Subtraia $0.24922291$ de $\frac{2 π}{3}$ .

$1.84517219$

Etapa 14.3

Liste os novos ângulos.

$x = 1.84517219$

Etapa 15

O período da função $\sin (3 x + 0.87605805)$ é $\frac{2 π}{3}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{2 π}{3}$ radianos nas duas direções.

$x = 0.71238176 + \frac{2 π n}{3}, 1.84517219 + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$