Trigonometria Exemplos

$8 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) = 2$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

$8 {(u)}^{2} - 4 u = 2$

Etapa 2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$8 u^{2} - 4 u - 2 = 0$

Etapa 3

Fatore $2$ de $8 u^{2} - 4 u - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $2$ de $8 u^{2}$ .

$2 (4 u^{2}) - 4 u - 2 = 0$

Etapa 3.2

Fatore $2$ de $- 4 u$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u) - 2 = 0$

Etapa 3.3

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u) + 2 (- 1) = 0$

Etapa 3.4

Fatore $2$ de $2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u)$ .

$2 (4 u^{2} - 2 u) + 2 (- 1) = 0$

Etapa 3.5

Fatore $2$ de $2 (4 u^{2} - 2 u) + 2 (- 1)$ .

$2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Divida cada termo em $2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $4 u^{2} - 2 u - 1$ por $1$ .

$4 u^{2} - 2 u - 1 = \frac{0}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$4 u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Etapa 5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6

Substitua os valores $a = 4$ , $b = - 2$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 7.1.3

Some $4$ e $16$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Etapa 7.1.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 7.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Etapa 7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Etapa 8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Etapa 9

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Etapa 10

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Etapa 11

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ .

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Etapa 11.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

Etapa 11.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = \frac{3 π}{10}$

Etapa 11.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{3 π}{10}$

Etapa 11.4

Simplifique $π - \frac{3 π}{10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{10}{10}$ .

$x = π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Etapa 11.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Etapa 11.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 10 - 3 π}{10}$

Etapa 11.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.3.1

Mova $10$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{10 \cdot π - 3 π}{10}$

Etapa 11.4.3.2

Subtraia $3 π$ de $10 π$ .

$x = \frac{7 π}{10}$

Etapa 11.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 11.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 11.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 11.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 11.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{10} + 2 π n, \frac{7 π}{10} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

Etapa 12.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = - \frac{π}{10}$

Etapa 12.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π + \frac{π}{10}$

Etapa 12.4

Simplifique $π + \frac{π}{10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{10}{10}$ .

$x = π \cdot \frac{10}{10} + \frac{π}{10}$

Etapa 12.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{π \cdot 10}{10} + \frac{π}{10}$

Etapa 12.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 10 + π}{10}$

Etapa 12.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.3.1

Mova $10$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{10 \cdot π + π}{10}$

Etapa 12.4.3.2

Some $10 π$ e $π$ .

$x = \frac{11 π}{10}$

Etapa 12.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 12.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 12.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 12.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 12.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 12.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{10}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{10} + 2 π$

Etapa 12.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{10}{10}$ .

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{π}{10}$

Etapa 12.6.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{π}{10}$

Etapa 12.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 10 - π}{10}$

Etapa 12.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.6.4.1

Multiplique $10$ por $2$ .

$\frac{20 π - π}{10}$

Etapa 12.6.4.2

Subtraia $π$ de $20 π$ .

$\frac{19 π}{10}$

Etapa 12.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{19 π}{10}$

Etapa 12.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{11 π}{10} + 2 π n, \frac{19 π}{10} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Liste todas as soluções.

$x = \frac{3 π}{10} + 2 π n, \frac{7 π}{10} + 2 π n, \frac{11 π}{10} + 2 π n, \frac{19 π}{10} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$