Trigonometria Exemplos

$8 \sin^{2} (\frac{x}{2}) - 10 \sin (\frac{x}{2}) + 3 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = \sin (\frac{x}{2})$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\sin (\frac{x}{2})$ .

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

Etapa 1.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ e cuja soma é $b = - 10$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $- 10$ de $- 10 u$ .

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva $- 10$ como $- 4$ mais $- 6$

$8 u^{2} + (- 4 - 6) u + 3 = 0$

Etapa 1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 u^{2} - 4 u - 6 u + 3 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(8 u^{2} - 4 u) - 6 u + 3 = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$4 u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (4 u - 3) = 0$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (\frac{x}{2})$ .

$(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

Etapa 3

Defina $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ como igual a $0$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $\sin (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6}$

Etapa 3.2.5

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Etapa 3.2.6

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Etapa 3.2.6.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 \frac{π}{6}$

Etapa 3.2.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.2.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Etapa 3.2.6.2.1.2

Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.2.6.2.1.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 3.2.7

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{6}$

Etapa 3.2.8

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Etapa 3.2.8.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Etapa 3.2.8.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 (π - \frac{π}{6})$

Etapa 3.2.8.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.2.1

Simplifique $2 (π - \frac{π}{6})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.2.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

Etapa 3.2.8.2.2.1.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.2.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

Etapa 3.2.8.2.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 3.2.8.2.2.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.2.1.2.3.1

Fatore $2$ de $6$ .

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 (3)}$

Etapa 3.2.8.2.2.1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.2.8.2.2.1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

Etapa 3.2.8.2.2.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.2.1.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{3}$

Etapa 3.2.8.2.2.1.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 3.2.9

Encontre o período de $\sin (\frac{x}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.9.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.9.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 3.2.9.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.2.9.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 2$

Etapa 3.2.9.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π$

Etapa 3.2.10

O período da função $\sin (\frac{x}{2})$ é $4 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ como igual a $0$ .

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ por $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $\sin (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{3}{4}$

Etapa 4.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{3}{4})$

Etapa 4.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Avalie $\arcsin (\frac{3}{4})$ .

$\frac{x}{2} = 0.84806207$

Etapa 4.2.5

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

Etapa 4.2.6

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

Etapa 4.2.6.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 \cdot 0.84806207$

Etapa 4.2.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.2.1

Multiplique $2$ por $0.84806207$ .

$x = 1.69612415$

Etapa 4.2.7

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{x}{2} = (3.14159265) - 0.84806207$

Etapa 4.2.8

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Etapa 4.2.8.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Etapa 4.2.8.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Etapa 4.2.8.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.2.2.1

Simplifique $2 ((3.14159265) - 0.84806207)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.2.2.1.1

Subtraia $0.84806207$ de $3.14159265$ .

$x = 2 \cdot 2.29353057$

Etapa 4.2.8.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2.29353057$ .

$x = 4.58706114$

Etapa 4.2.9

Encontre o período de $\sin (\frac{x}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.9.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.9.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 4.2.9.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.9.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 2$

Etapa 4.2.9.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π$

Etapa 4.2.10

O período da função $\sin (\frac{x}{2})$ é $4 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4 π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n, 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$