Trigonometria Exemplos

$8 \cos^{2} (2 x) + 7 \cos (2 x) - 1 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = \cos (2 x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\cos (2 x)$ .

$8 u^{2} + 7 u - 1 = 0$

Etapa 1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 8 \cdot - 1 = - 8$ e cuja soma é $b = 7$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $7$ de $7 u$ .

$8 u^{2} + 7 (u) - 1 = 0$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva $7$ como $- 1$ mais $8$

$8 u^{2} + (- 1 + 8) u - 1 = 0$

Etapa 1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 u^{2} - 1 u + 8 u - 1 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(8 u^{2} - 1 u) + 8 u - 1 = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (8 u - 1) + 1 (8 u - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $8 u - 1$ .

$(8 u - 1) (u + 1) = 0$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (2 x)$ .

$(8 \cos (2 x) - 1) (\cos (2 x) + 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$8 \cos (2 x) - 1 = 0$

$\cos (2 x) + 1 = 0$

Etapa 3

Defina $8 \cos (2 x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina $8 \cos (2 x) - 1$ como igual a $0$ .

$8 \cos (2 x) - 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $8 \cos (2 x) - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$8 \cos (2 x) = 1$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $8 \cos (2 x) = 1$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $8 \cos (2 x) = 1$ por $8$ .

$\frac{8 \cos (2 x)}{8} = \frac{1}{8}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 \cos (2 x)}{8} = \frac{1}{8}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{1}{8}$

Etapa 3.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$2 x = \arccos (\frac{1}{8})$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Avalie $\arccos (\frac{1}{8})$ .

$2 x = 1.44546849$

Etapa 3.2.5

Divida cada termo em $2 x = 1.44546849$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Divida cada termo em $2 x = 1.44546849$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.44546849}{2}$

Etapa 3.2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.44546849}{2}$

Etapa 3.2.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1.44546849}{2}$

Etapa 3.2.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.3.1

Divida $1.44546849$ por $2$ .

$x = 0.72273424$

Etapa 3.2.6

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 x = 2 (3.14159265) - 1.44546849$

Etapa 3.2.7

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.7.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.7.1.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$2 x = 6.2831853 - 1.44546849$

Etapa 3.2.7.1.2

Subtraia $1.44546849$ de $6.2831853$ .

$2 x = 4.83771681$

Etapa 3.2.7.2

Divida cada termo em $2 x = 4.83771681$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.7.2.1

Divida cada termo em $2 x = 4.83771681$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4.83771681}{2}$

Etapa 3.2.7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.7.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4.83771681}{2}$

Etapa 3.2.7.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4.83771681}{2}$

Etapa 3.2.7.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.7.2.3.1

Divida $4.83771681$ por $2$ .

$x = 2.4188584$

Etapa 3.2.8

Encontre o período de $\cos (2 x)$ .

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Etapa 3.2.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.8.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 3.2.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 3.2.8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 3.2.8.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.2.9

O período da função $\cos (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.72273424 + π n, 2.4188584 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $\cos (2 x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\cos (2 x) + 1$ como igual a $0$ .

$\cos (2 x) + 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\cos (2 x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\cos (2 x) = - 1$

Etapa 4.2.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$2 x = \arccos (- 1)$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$2 x = π$

Etapa 4.2.4

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.5

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$2 x = 2 π - π$

Etapa 4.2.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$2 x = π$

Etapa 4.2.6.2

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.2.1

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.6.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.7

Encontre o período de $\cos (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.7.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 4.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 4.2.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 4.2.7.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.2.8

O período da função $\cos (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(8 \cos (2 x) - 1) (\cos (2 x) + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0.72273424 + π n, 2.4188584 + π n, \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$