Trigonometria Exemplos

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sqrt{2} \cos (x) + 2 = 0$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

$4 {(u)}^{2} - 4 \sqrt{2} u + 2 = 0$

Etapa 2

Fatore $2$ de $4 u^{2} - 4 \sqrt{2} u + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $2$ de $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) - 4 \sqrt{2} u + 2 = 0$

Etapa 2.2

Fatore $2$ de $- 4 \sqrt{2} u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u) + 2 = 0$

Etapa 2.3

Fatore $2$ de $2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u) + 2 (1) = 0$

Etapa 2.4

Fatore $2$ de $2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u)$ .

$2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u) + 2 (1) = 0$

Etapa 2.5

Fatore $2$ de $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u) + 2 (1)$ .

$2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$

Etapa 3

Divida cada termo em $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1$ por $1$ .

$2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1 = \frac{0}{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1 = 0$

Etapa 4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5

Substitua os valores $a = 2$ , $b = - 2 \sqrt{2}$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 2 \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra do produto a $- 2 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.3.5

Avalie o expoente.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.4

Multiplique $4$ por $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.5

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.5.2

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.6

Subtraia $8$ de $8$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.7

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm 0}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.9

$2 \sqrt{2}$ plus or minus $0$ is $2 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

Etapa 6.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum.

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.3.2.3

Reescreva a expressão.

$u = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 7

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 8

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 9

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

O valor exato de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 10

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Etapa 11

Simplifique $2 π - \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 11.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 11.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 11.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Etapa 11.3.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 12

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 12.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 12.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 12.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 13

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$