Trigonometria Exemplos

$\sin (x) \cos (\frac{π}{7}) - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Avalie $\cos (\frac{π}{7})$ .

$\sin (x) \cdot 0.90096886 - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2

Mova $0.90096886$ para a esquerda de $\sin (x)$ .

$0.90096886 \cdot \sin (x) - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.3

Avalie $\sin (\frac{π}{7})$ .

$0.90096886 \sin (x) - 1 \cdot (0.43388373 \cos (x)) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.4

Multiplique $- 1$ por $0.43388373$ .

$0.90096886 \sin (x) - 0.43388373 \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2

Use a fórmula para resolver a equação. Nesta fórmula, $θ$ representa o ângulo criado ao plotar o ponto $(a, b)$ em um gráfico e, portanto, pode ser encontrado usando $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ em que $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ e $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Etapa 3

Estabeleça a equação para encontrar o valor de $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{0.43388373}{0.90096886})$

Etapa 4

Obtenha a tangente inversa para resolver a equação de $θ$ .

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Etapa 4.1

Divida $0.43388373$ por $0.90096886$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 0.48157461)$

Etapa 4.2

Multiplique $- 1$ por $0.48157461$ .

$θ = \tan^{-1} (- 0.48157461)$

Etapa 4.3

Avalie $\tan^{-1} (- 0.48157461)$ .

$θ = - \frac{π}{7}$

Etapa 5

Resolva para encontrar o valor de $R$ .

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Etapa 5.1

Eleve $0.90096886$ à potência de $2$ .

$R = \sqrt{0.8117449 + {(- 0.43388373)}^{2}}$

Etapa 5.2

Eleve $- 0.43388373$ à potência de $2$ .

$R = \sqrt{0.8117449 + 0.18825509}$

Etapa 5.3

Some $0.8117449$ e $0.18825509$ .

$R = \sqrt{1}$

Etapa 6

Substitua os valores conhecidos na equação.

$(\sqrt{1}) \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 7

Divida cada termo em $\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\sqrt{1}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\sqrt{1}$ .

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7})}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{1}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7})}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $\sin (x - \frac{π}{7})$ por $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1}}$ por $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}})$

Etapa 7.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1}}$ por $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1} \sqrt{1}}$

Etapa 7.3.3.2

Eleve $\sqrt{1}$ à potência de $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} \sqrt{1}}$

Etapa 7.3.3.3

Eleve $\sqrt{1}$ à potência de $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} {\sqrt{1}}^{1}}$

Etapa 7.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{2}}$

Etapa 7.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{1}}^{2}$ como $1$ .

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Etapa 7.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1}$ como $1^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{(1^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{1}}$

Etapa 7.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1}$

Etapa 7.3.4

Avalie a raiz.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 7.3.5

Divida $1$ por $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1$

Etapa 7.3.6

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 8

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x - \frac{π}{7} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 9

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.1

O valor exato de $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$x - \frac{π}{7} = \frac{π}{4}$

Etapa 10

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 10.1

Some $\frac{π}{7}$ aos dois lados da equação.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π}{7}$

Etapa 10.2

Para escrever $\frac{π}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7}$

Etapa 10.3

Para escrever $\frac{π}{7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 10.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $28$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 10.4.1

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 10.4.2

Multiplique $4$ por $7$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 10.4.3

Multiplique $\frac{π}{7}$ por $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Etapa 10.4.4

Multiplique $7$ por $4$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{28}$

Etapa 10.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 7 + π \cdot 4}{28}$

Etapa 10.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.6.1

Mova $7$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{7 \cdot π + π \cdot 4}{28}$

Etapa 10.6.2

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{7 π + 4 \cdot π}{28}$

Etapa 10.6.3

Some $7 π$ e $4 π$ .

$x = \frac{11 π}{28}$

Etapa 11

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x - \frac{π}{7} = π - \frac{π}{4}$

Etapa 12

Resolva $x$ .

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Etapa 12.1

Simplifique $π - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 12.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{7} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 12.1.2

Combine frações.

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Etapa 12.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{7} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 12.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x - \frac{π}{7} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 12.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x - \frac{π}{7} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 12.1.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x - \frac{π}{7} = \frac{3 π}{4}$

Etapa 12.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.2.1

Some $\frac{π}{7}$ aos dois lados da equação.

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π}{7}$

Etapa 12.2.2

Para escrever $\frac{3 π}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7}$

Etapa 12.2.3

Para escrever $\frac{π}{7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 12.2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $28$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 12.2.4.1

Multiplique $\frac{3 π}{4}$ por $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 12.2.4.2

Multiplique $4$ por $7$ .

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 12.2.4.3

Multiplique $\frac{π}{7}$ por $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Etapa 12.2.4.4

Multiplique $7$ por $4$ .

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{28}$

Etapa 12.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{3 π \cdot 7 + π \cdot 4}{28}$

Etapa 12.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.2.6.1

Multiplique $7$ por $3$ .

$x = \frac{21 π + π \cdot 4}{28}$

Etapa 12.2.6.2

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{21 π + 4 \cdot π}{28}$

Etapa 12.2.6.3

Some $21 π$ e $4 π$ .

$x = \frac{25 π}{28}$

Etapa 13

Encontre o período de $\sin (x - \frac{π}{7})$ .

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Etapa 13.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 13.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 13.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 13.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 14

O período da função $\sin (x - \frac{π}{7})$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{11 π}{28} + 2 π n, \frac{25 π}{28} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$