Trigonometria Exemplos

$\sin (x) \cos (\frac{π}{2}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2}$

Etapa 1

Eleve os dois lados da equação ao quadrado.

${(\sin (x) \cos (\frac{π}{2}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}))}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 2

Simplifique ${(\sin (x) \cos (\frac{π}{2}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

${(\sin (x) \cdot 0 + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}))}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $\sin (x)$ por $0$ .

${(0 + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}))}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

${(0 + \cos (x) \cdot 1)}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 2.1.4

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

${(0 + \cos (x))}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 2.2

Some $0$ e $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 3

Simplifique ${(- \frac{1}{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) = {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 3.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) = {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Etapa 3.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\cos^{2} (x) = 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Etapa 3.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2^{2}}$

Etapa 3.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

Etapa 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Etapa 5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Etapa 5.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Etapa 5.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 5.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\cos (x) = \pm \frac{1}{2}$

Etapa 6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Etapa 7

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 8

Resolva $x$ em $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 8.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 8.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 8.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 8.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 8.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 8.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 8.4.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 8.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 8.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 8.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Etapa 9.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{1}{2})$ é $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 9.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Etapa 9.4

Simplifique $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 9.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 9.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Etapa 9.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Etapa 9.4.3.2

Subtraia $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 9.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 9.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 9.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 9.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 9.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Consolide as soluções.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Consolide $\frac{π}{3} + 2 π n$ e $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ em $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11.2

Consolide $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ e $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ em $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Exclua as soluções que não tornam $\sin (x) \cos (\frac{π}{2}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2}$ verdadeira.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$