Trigonometria Exemplos

$\tan (2 x) - \tan (x) = 0$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Aplique a fórmula do arco duplo da tangente.

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} - \tan (x) = 0$

Etapa 1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 \tan (x)}{1^{2} - \tan^{2} (x)} - \tan (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \tan (x)$ .

$\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x) = 0$

Etapa 2

Fatore $\tan (x)$ de $\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x)$ .

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Etapa 2.1

Fatore $\tan (x)$ de $\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$ .

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $\tan (x)$ de $- \tan (x)$ .

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} + \tan (x) \cdot - 1 = 0$

Etapa 2.3

Fatore $\tan (x)$ de $\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} + \tan (x) \cdot - 1$ .

$\tan (x) (\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$

Etapa 4

Defina $\tan (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\tan (x)$ como igual a $0$ .

$\tan (x) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\tan (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (0)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.2.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + 0$

Etapa 4.2.4

Some $π$ e $0$ .

$x = π$

Etapa 4.2.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 4.2.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.2.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1$ como igual a $0$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.2.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)), 1, 1$

Etapa 5.2.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$

Etapa 5.2.2

Multiplique cada termo em $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ por $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.2.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ por $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Expanda $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.2.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 - (1 (1 - \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 - (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 - (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.2.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.2.1.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$2 - (1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.2.1.3.1.2

Multiplique $- \tan (x)$ por $1$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.2.1.3.1.3

Multiplique $\tan (x)$ por $1$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.2.1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan (x) \tan (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.2.1.3.1.5

Multiplique $\tan (x)$ por $\tan (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.2.2.1.3.1.5.1

Mova $\tan (x)$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - (\tan (x) \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.2.1.3.1.5.2

Multiplique $\tan (x)$ por $\tan (x)$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.2.1.3.2

Some $- \tan (x)$ e $\tan (x)$ .

$2 - (1 + 0 - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.2.1.3.3

Some $1$ e $0$ .

$2 - (1 - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 - 1 \cdot 1 - - \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 - 1 - - \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.2.1.6

Multiplique $- - \tan^{2} (x)$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 - 1 + 1 \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.2.1.6.2

Multiplique $\tan^{2} (x)$ por $1$ .

$2 - 1 + \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.3.1

Expanda $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 (1 - \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.3.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.2.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.3.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.3.2.1.2

Multiplique $- \tan (x)$ por $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.3.2.1.3

Multiplique $\tan (x)$ por $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.3.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan (x) \tan (x))$

Etapa 5.2.2.3.2.1.5

Multiplique $\tan (x)$ por $\tan (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.2.3.2.1.5.1

Mova $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - (\tan (x) \tan (x)))$

Etapa 5.2.2.3.2.1.5.2

Multiplique $\tan (x)$ por $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan^{2} (x))$

Etapa 5.2.2.3.2.2

Some $- \tan (x)$ e $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 + 0 - \tan^{2} (x))$

Etapa 5.2.2.3.2.3

Some $1$ e $0$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan^{2} (x))$

Etapa 5.2.2.3.3

Multiplique $0$ por $1 - \tan^{2} (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0$

Etapa 5.2.3

Resolva a equação.

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Etapa 5.2.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\tan^{2} (x) = - 1$

Etapa 5.2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 5.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\tan (x) = \pm i$

Etapa 5.2.3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.2.3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\tan (x) = i$

Etapa 5.2.3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\tan (x) = - i$

Etapa 5.2.3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\tan (x) = i, - i$

Etapa 5.2.4

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\tan (x) = i$

$\tan (x) = - i$

Etapa 5.2.5

Resolva $x$ em $\tan (x) = i$ .

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Etapa 5.2.5.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (i)$

Etapa 5.2.5.2

A tangente inversa de $\arctan (i)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.2.6

Resolva $x$ em $\tan (x) = - i$ .

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Etapa 5.2.6.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- i)$

Etapa 5.2.6.2

A tangente inversa de $\arctan (- i)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.2.7

Liste todas as soluções.

Nenhuma solução

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $\tan (x) (\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Consolide as respostas.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$