Trigonometria Exemplos

$\tan (\frac{a}{2}) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm $a$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Some $\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ aos dois lados da equação.

$\tan (\frac{a}{2}) + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

Etapa 1.2

Reescreva $\tan (\frac{a}{2})$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

Etapa 1.3

Para escrever $\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

Etapa 1.4

Para escrever $\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} = 0$

Etapa 1.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.5.1

Multiplique $\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ por $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} = 0$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ por $\frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{(1 + \cos (a)) \cos (\frac{a}{2})} = 0$

Etapa 1.5.3

Reordene os fatores de $(1 + \cos (a)) \cos (\frac{a}{2})$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a)) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

Etapa 1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) \cdot 1 + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

Etapa 1.7.2

Multiplique $\sin (\frac{a}{2})$ por $1$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

Etapa 2

Defina o numerador como igual a zero.

$\sin (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = 0$

Etapa 3

Resolva a equação para $a$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que não contêm $\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.1.1

Subtraia $\sin (\frac{a}{2})$ dos dois lados da equação.

$\sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2})$

Etapa 3.1.2

Subtraia $\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)$

Etapa 3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}))}^{2} = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - \cos (a)}$ como ${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2}))}^{2} = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2}))}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a ${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2})$ .

${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

${(1 - \cos (a))}^{1} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.3

Simplifique.

$(1 - \cos (a)) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.5

Multiplique $\cos^{2} (\frac{a}{2})$ por $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Simplifique ${(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$ .

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Etapa 3.3.3.1.1

Reescreva ${(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$ como $(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.2

Expanda $(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

Etapa 3.3.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.3.1.1

Multiplique $- \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}))$ .

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Etapa 3.3.3.1.3.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = 1 \sin (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.1.2

Multiplique $\sin (\frac{a}{2})$ por $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.1.3

Eleve $\sin (\frac{a}{2})$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.1.4

Eleve $\sin (\frac{a}{2})$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.1.6

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.2

Multiplique $- \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ .

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Etapa 3.3.3.1.3.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + 1 \sin (\frac{a}{2}) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.2.2

Multiplique $\sin (\frac{a}{2})$ por $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.2.3

Eleve $\sin (\frac{a}{2})$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.2.4

Eleve $\sin (\frac{a}{2})$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.3

Multiplique $- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}))$ .

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Etapa 3.3.3.1.3.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + 1 \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.3.2

Multiplique $\sin (\frac{a}{2})$ por $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.3.3

Eleve $\sin (\frac{a}{2})$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.3.4

Eleve $\sin (\frac{a}{2})$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.3.6

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.4

Multiplique $- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ .

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Etapa 3.3.3.1.3.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + 1 \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.4.2

Multiplique $\sin (\frac{a}{2})$ por $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.4.3

Eleve $\sin (\frac{a}{2})$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \cos (a)$

Etapa 3.3.3.1.3.1.4.4

Eleve $\sin (\frac{a}{2})$ à potência de $1$ .

Etapa 3.3.3.1.3.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) \cos (a)$

Etapa 3.3.3.1.3.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) \cos (a)$

Etapa 3.3.3.1.3.1.4.7

Eleve $\cos (a)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos^{1} (a) \cos (a))$

Etapa 3.3.3.1.3.1.4.8

Eleve $\cos (a)$ à potência de $1$ .

Etapa 3.3.3.1.3.1.4.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) {\cos (a)}^{1 + 1}$

Etapa 3.3.3.1.3.1.4.10

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

Etapa 3.3.3.1.3.2

Some $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ e $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

Etapa 3.4

Resolva $a$ .

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Etapa 3.4.1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.4.1.1

Subtraia $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ dos dois lados da equação.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

Etapa 3.4.1.2

Subtraia $2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ dos dois lados da equação.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

Etapa 3.4.1.3

Subtraia $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ dos dois lados da equação.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Etapa 3.4.2

Simplifique $\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ .

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Etapa 3.4.2.1

Mova $- \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Etapa 3.4.2.2

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$\cos (2 \frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Etapa 3.4.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\cos (2 \frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Etapa 3.4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\cos (a) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Etapa 3.4.2.4

Multiplique por $1$ .

$\cos (a) \cdot 1 - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Etapa 3.4.2.5

Fatore $\cos (a)$ de $- \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2})$ .

$\cos (a) \cdot 1 + \cos (a) (- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Etapa 3.4.2.6

Fatore $\cos (a)$ de $\cos (a) \cdot 1 + \cos (a) (- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2}))$ .

$\cos (a) \cdot (1 - 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Etapa 3.4.2.7

Reescreva $- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})$ como $- \cos^{2} (\frac{a}{2})$ .

$\cos (a) \cdot (1 - \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Etapa 3.4.2.8

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\cos (a) \cdot \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Etapa 3.4.2.9

Reordene os fatores de $\cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Etapa 3.4.2.10

Subtraia $2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ de $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ .

$- \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Etapa 3.4.3

Fatore $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ de $- \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ .

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Etapa 3.4.3.1

Reordene a expressão.

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Etapa 3.4.3.1.1

Mova $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Etapa 3.4.3.1.2

Mova $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Etapa 3.4.3.1.3

Reordene $- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ e $- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ de $- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ de $- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot 1 = 0$

Etapa 3.4.3.4

Fatore $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ de $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot 1$ .

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos (a) + 1) = 0$

Etapa 3.4.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (a) = 0$

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

$\cos (a) + 1 = 0$

Etapa 3.4.5

Defina $\cos (a)$ como igual a $0$ e resolva para $a$ .

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Etapa 3.4.5.1

Defina $\cos (a)$ como igual a $0$ .

$\cos (a) = 0$

Etapa 3.4.5.2

Resolva $\cos (a) = 0$ para $a$ .

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Etapa 3.4.5.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $a$ de dentro do cosseno.

$a = \arccos (0)$

Etapa 3.4.5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.5.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$a = \frac{π}{2}$

Etapa 3.4.5.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$a = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 3.4.5.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 3.4.5.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$a = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.4.5.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 3.4.5.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$a = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.4.5.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$a = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 3.4.5.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.5.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$a = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 3.4.5.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$a = \frac{3 π}{2}$

Etapa 3.4.5.2.5

Encontre o período de $\cos (a)$ .

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Etapa 3.4.5.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.4.5.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.4.5.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.4.5.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.4.5.2.6

O período da função $\cos (a)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$a = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.4.6

Defina $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ como igual a $0$ e resolva para $a$ .

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Etapa 3.4.6.1

Defina $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ como igual a $0$ .

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Etapa 3.4.6.2

Resolva $\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$ para $a$ .

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Etapa 3.4.6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.4.6.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 3.4.6.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.4.6.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm 0$

Etapa 3.4.6.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$\sin (\frac{a}{2}) = 0$

Etapa 3.4.6.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $a$ de dentro do seno.

$\frac{a}{2} = \arcsin (0)$

Etapa 3.4.6.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.6.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$\frac{a}{2} = 0$

Etapa 3.4.6.2.5

Defina o numerador como igual a zero.

$a = 0$

Etapa 3.4.6.2.6

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{a}{2} = π - 0$

Etapa 3.4.6.2.7

Resolva $a$ .

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Etapa 3.4.6.2.7.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{a}{2} = 2 (π - 0)$

Etapa 3.4.6.2.7.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.4.6.2.7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.6.2.7.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.6.2.7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{a}{2} = 2 (π - 0)$

Etapa 3.4.6.2.7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$a = 2 (π - 0)$

Etapa 3.4.6.2.7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.6.2.7.2.2.1

Subtraia $0$ de $π$ .

$a = 2 π$

Etapa 3.4.6.2.8

Encontre o período de $\sin (\frac{a}{2})$ .

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Etapa 3.4.6.2.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.4.6.2.8.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 3.4.6.2.8.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.4.6.2.8.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 2$

Etapa 3.4.6.2.8.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π$

Etapa 3.4.6.2.9

O período da função $\sin (\frac{a}{2})$ é $4 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4 π$ radianos nas duas direções.

$a = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.4.7

Defina $\cos (a) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $a$ .

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Etapa 3.4.7.1

Defina $\cos (a) + 1$ como igual a $0$ .

$\cos (a) + 1 = 0$

Etapa 3.4.7.2

Resolva $\cos (a) + 1 = 0$ para $a$ .

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Etapa 3.4.7.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\cos (a) = - 1$

Etapa 3.4.7.2.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $a$ de dentro do cosseno.

$a = \arccos (- 1)$

Etapa 3.4.7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.7.2.3.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$a = π$

Etapa 3.4.7.2.4

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$a = 2 π - π$

Etapa 3.4.7.2.5

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$a = π$

Etapa 3.4.7.2.6

Encontre o período de $\cos (a)$ .

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Etapa 3.4.7.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.4.7.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.4.7.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.4.7.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.4.7.2.7

O período da função $\cos (a)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$a = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.4.8

A solução final são todos os valores que tornam $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos (a) + 1) = 0$ verdadeiro.

$a = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 4 π n, 2 π + 4 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Consolide as respostas.

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Etapa 4.1

Consolide $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ em $\frac{π}{2} + π n$ .

$a = \frac{π}{2} + π n, 4 π n, 2 π + 4 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.2

Consolide $4 π n$ e $2 π + 4 π n$ em $2 π n$ .

$a = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.3

Consolide $2 π n$ e $π + 2 π n$ em $π n$ .

$a = \frac{π}{2} + π n, π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.4

Consolide as respostas.

$a = \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Verifique as soluções, substituindo-as em $\tan (\frac{a}{2}) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ e resolvendo.

$a = \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$