Trigonometria Exemplos

$\sin (2 x) > \cos (2 x)$

Etapa 1

Resolva $\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo na equação por $\cos (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Etapa 1.2

Converta de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ em $\tan (2 x)$ .

$\tan (2 x) > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $\cos (2 x)$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\tan (2 x) > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\tan (2 x) > 1$

Etapa 1.4

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$2 x > \arctan (1)$

Etapa 1.5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$2 x > \frac{π}{4}$

Etapa 1.6

Divida cada termo em $2 x > \frac{π}{4}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.6.1

Divida cada termo em $2 x > \frac{π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Etapa 1.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Etapa 1.6.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Etapa 1.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.6.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x > \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.6.3.2

Multiplique $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.6.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x > \frac{π}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.6.3.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$x > \frac{π}{8}$

Etapa 1.7

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 1.8

Resolva $x$ .

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Etapa 1.8.1

Simplifique.

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Etapa 1.8.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$2 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 1.8.1.2

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 1.8.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 1.8.1.4

Some $π \cdot 4$ e $π$ .

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Etapa 1.8.1.4.1

Reordene $π$ e $4$ .

$2 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 1.8.1.4.2

Some $4 \cdot π$ e $π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Etapa 1.8.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.8.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Etapa 1.8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.8.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Etapa 1.8.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Etapa 1.8.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.8.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.8.2.3.2

Multiplique $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.8.2.3.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.8.2.3.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Etapa 1.9

Encontre o período de $\tan (2 x)$ .

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Etapa 1.9.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 1.9.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 2 |}$

Etapa 1.9.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{π}{2}$

Etapa 1.10

O período da função $\tan (2 x)$ é $\frac{π}{2}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{π}{2}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.11

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.12

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$

Etapa 1.13

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 1.13.1

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.13.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 1.13.1.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\sin (2 (1)) > \cos (2 (1))$

Etapa 1.13.1.3

O lado esquerdo $0.90929742$ é maior do que o lado direito $- 0.41614683$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 1.13.2

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ Verdadeiro

Etapa 1.14

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2

Use a desigualdade $\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ para criar a notação do conjunto.

${x | \frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}}$

Etapa 3