Trigonometria Exemplos

$\sec^{2} (x - 1)$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \sec^{2} (y - 1)$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\sec^{2} (y - 1) = x$ .

$\sec^{2} (y - 1) = x$

Etapa 2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (y - 1) = \pm \sqrt{x}$

Etapa 2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sec (y - 1) = \sqrt{x}$

Etapa 2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sec (y - 1) = - \sqrt{x}$

Etapa 2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sec (y - 1) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$

Etapa 2.4

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $y$ .

$\sec (y - 1) = \sqrt{x}$

$\sec (y - 1) = - \sqrt{x}$

Etapa 2.5

Resolva $y$ em $\sec (y - 1) = \sqrt{x}$ .

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Etapa 2.5.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro da secante.

$y - 1 = arcsec (\sqrt{x})$

Etapa 2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = arcsec (\sqrt{x}) + 1$

Etapa 2.6

Resolva $y$ em $\sec (y - 1) = - \sqrt{x}$ .

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Etapa 2.6.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro da secante.

$y - 1 = arcsec (- \sqrt{x})$

Etapa 2.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = arcsec (- \sqrt{x}) + 1$

Etapa 2.7

Liste todas as soluções.

$y = arcsec (\sqrt{x}) + 1$

$y = arcsec (- \sqrt{x}) + 1$

$y = arcsec (\sqrt{x}) + 1$

$y = arcsec (- \sqrt{x}) + 1$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}) + 1, arcsec (- \sqrt{x}) + 1$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}) + 1, arcsec (- \sqrt{x}) + 1$ é o inverso de $f (x) = \sec^{2} (x - 1)$ .

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Etapa 4.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \sec^{2} (x - 1)$ e $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}) + 1, arcsec (- \sqrt{x}) + 1$ e os compare.

Etapa 4.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \sec^{2} (x - 1)$ .

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Etapa 4.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[1, \infty)$

Etapa 4.3

Encontre o domínio de $arcsec (\sqrt{x}) + 1$ .

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Etapa 4.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 4.3.2

Defina o argumento em $arcsec (\sqrt{x})$ como menor do que ou igual a $- 1$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\sqrt{x} \leq - 1$

Etapa 4.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{x}}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.3.2

Simplifique cada lado da desigualdade.

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Etapa 4.3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.3.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} \leq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.3.2.2.1.2

Simplifique.

$x \leq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.3.2.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x \leq 1$

Etapa 4.3.3.3

Encontre o domínio de $\sqrt{x} + 1$ .

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Etapa 4.3.3.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 4.3.3.3.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 4.3.3.4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 4.3.3.5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 4.3.3.5.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.3.3.5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 4.3.3.5.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\sqrt{- 2} \leq - 1$

Etapa 4.3.3.5.1.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.3.3.5.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.3.3.5.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.5$

Etapa 4.3.3.5.2.2

Substitua $x$ por $0.5$ na desigualdade original.

$\sqrt{0.5} \leq - 1$

Etapa 4.3.3.5.2.3

O lado esquerdo $0.70710678$ é maior do que o lado direito $- 1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.3.3.5.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.3.3.5.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 4.3.3.5.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\sqrt{4} \leq - 1$

Etapa 4.3.3.5.3.3

O lado esquerdo $2$ é maior do que o lado direito $- 1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.3.3.5.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

Etapa 4.3.3.6

Como não há números que se enquadram no intervalo, essa desigualdade não tem solução.

Nenhuma solução

Etapa 4.3.4

Defina o argumento em $arcsec (\sqrt{x})$ como maior do que ou igual a $1$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\sqrt{x} \geq 1$

Etapa 4.3.5

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.5.1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{x}}^{2} \geq 1^{2}$

Etapa 4.3.5.2

Simplifique cada lado da desigualdade.

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Etapa 4.3.5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Etapa 4.3.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.5.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.5.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Etapa 4.3.5.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.5.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Etapa 4.3.5.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} \geq 1^{2}$

Etapa 4.3.5.2.2.1.2

Simplifique.

$x \geq 1^{2}$

Etapa 4.3.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.5.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x \geq 1$

Etapa 4.3.5.3

Encontre o domínio de $\sqrt{x} - 1$ .

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Etapa 4.3.5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 4.3.5.3.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 4.3.5.4

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \geq 1$

Etapa 4.3.6

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 4.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}) + 1, arcsec (- \sqrt{x}) + 1$ não é igual ao intervalo de $f (x) = \sec^{2} (x - 1)$ , então, $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}) + 1, arcsec (- \sqrt{x}) + 1$ não é um inverso de $f (x) = \sec^{2} (x - 1)$ .

Não há inverso

Etapa 5