Trigonometria Exemplos

$\frac{\sec (x)}{\csc (x)}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \frac{\sec (y)}{\csc (y)}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\frac{\sec (y)}{\csc (y)} = x$ .

$\frac{\sec (y)}{\csc (y)} = x$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique $\frac{\sec (y)}{\csc (y)}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Reescreva $\csc (y)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sec (y)}{\frac{1}{\sin (y)}} = x$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $\sec (y)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{1}{\cos (y)}}{\frac{1}{\sin (y)}} = x$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)} = x$

Etapa 2.2.1.4

Converta de $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ em $\tan (y)$ .

$\tan (y) = x$

Etapa 2.3

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro da tangente.

$y = \arctan (x)$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (x)$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \arctan (x)$ é o inverso de $f (x) = \frac{\sec (x)}{\csc (x)}$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sec (x)}{\csc (x)})$

Etapa 4.2.3

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sec (x)}{\frac{1}{\sin (x)}})$

Etapa 4.2.4

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}})$

Etapa 4.2.5

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Etapa 4.2.6

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\tan (x))$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\arctan (x))$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\arctan (x)) = \frac{\sec (\arctan (x))}{\csc (\arctan (x))}$

Etapa 4.3.3

Reescreva $\csc (\arctan (x))$ em termos de senos e cossenos.

$f (\arctan (x)) = \frac{\sec (\arctan (x))}{\frac{1}{\sin (\arctan (x))}}$

Etapa 4.3.4

Reescreva $\sec (\arctan (x))$ em termos de senos e cossenos.

$f (\arctan (x)) = \frac{\frac{1}{\cos (\arctan (x))}}{\frac{1}{\sin (\arctan (x))}}$

Etapa 4.3.5

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (\arctan (x))}$ .

$f (\arctan (x)) = \frac{\sin (\arctan (x))}{\cos (\arctan (x))}$

Etapa 4.3.6

Converta de $\frac{\sin (\arctan (x))}{\cos (\arctan (x))}$ em $\tan (\arctan (x))$ .

$f (\arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

Etapa 4.3.7

As funções tangente e arco tangente são inversos.

$f (\arctan (x)) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \arctan (x)$ é o inverso de $f (x) = \frac{\sec (x)}{\csc (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (x)$