Trigonometria Exemplos

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \frac{\cos (2 y)}{\sin (y)}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} = x$ .

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} = x$

Etapa 2.2

Multiplique os dois lados por $\sin (y)$ .

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} \sin (y) = x \sin (y)$

Etapa 2.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $\sin (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} \sin (y) = x \sin (y)$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\cos (2 y) = x \sin (y)$

Etapa 2.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (y) = x \sin (y)$

Etapa 2.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin^{2} (y) = x \sin (y) - 1$

Etapa 2.4.3

Subtraia $x \sin (y)$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin^{2} (y) - x \sin (y) = - 1$

Etapa 2.4.4

Resolva a equação para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Substitua $u$ por $\sin (y)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - x u = - 1$

Etapa 2.4.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- 2 u^{2} - x u + 1 = 0$

Etapa 2.4.4.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.4.4

Substitua os valores $a = - 2$ , $b = - x$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 1)}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.4.4.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.5.1.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.4.4.5.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.4.4.5.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.4.4.5.1.4

Multiplique $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.5.1.4.1

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.4.4.5.1.4.2

Multiplique $8$ por $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.4.4.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Etapa 2.4.4.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Etapa 2.4.4.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.6.1.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.4.4.6.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.4.4.6.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.4.4.6.1.4

Multiplique $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.6.1.4.1

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.4.4.6.1.4.2

Multiplique $8$ por $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.4.4.6.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Etapa 2.4.4.6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Etapa 2.4.4.6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$u = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Etapa 2.4.4.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.7.1.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.4.4.7.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.4.4.7.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.4.4.7.1.4

Multiplique $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.7.1.4.1

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.4.4.7.1.4.2

Multiplique $8$ por $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.4.4.7.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Etapa 2.4.4.7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Etapa 2.4.4.7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$u = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Etapa 2.4.4.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

$u = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Etapa 2.4.4.9

Substitua $\sin (y)$ por $u$ .

$\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}, - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Etapa 2.4.4.10

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $y$ .

$\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

$\sin (y) = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Etapa 2.4.4.11

Resolva $y$ em $\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.11.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do seno.

$y = \arcsin (- \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Etapa 2.4.4.11.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.11.2.1

Simplifique $\arcsin (- \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.11.2.1.1

Divida a fração $\frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ em duas frações.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} + \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Etapa 2.4.4.11.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Etapa 2.4.4.11.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.11.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Etapa 2.4.4.12

Resolva $y$ em $\sin (y) = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.12.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do seno.

$y = \arcsin (- \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Etapa 2.4.4.12.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.12.2.1

Simplifique $\arcsin (- \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.12.2.1.1

Divida a fração $\frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ em duas frações.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} + \frac{- \sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Etapa 2.4.4.12.2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Etapa 2.4.4.12.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} - - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Etapa 2.4.4.12.2.1.4

Multiplique $- - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.12.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} + 1 \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Etapa 2.4.4.12.2.1.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ por $1$ .

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} + \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Etapa 2.4.4.12.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.12.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Etapa 2.4.4.13

Liste todas as soluções.

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ é o inverso de $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ e $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ e os compare.

Etapa 4.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Etapa 4.3

Find the domain of the inverse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Encontre o domínio de $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Defina o radicando em $\sqrt{x^{2} + 8}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} + 8 \geq 0$

Etapa 4.3.1.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1

Subtraia $8$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{2} \geq - 8$

Etapa 4.3.1.2.2

Como o lado esquerdo tem uma potência par, ele é sempre positivo para todos os números reais.

Todos os números reais

Etapa 4.3.1.3

Defina o argumento em $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ como maior do que ou igual a $- 1$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Etapa 4.3.1.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.1

Multiplique os dois lados por $4$ .

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Etapa 4.3.1.4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Etapa 4.3.1.4.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 1 \cdot 4$

Etapa 4.3.1.4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4$

Etapa 4.3.1.4.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.3.1

Some $x$ aos dois lados da desigualdade.

$- \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4 + x$

Etapa 4.3.1.4.3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${(- \sqrt{x^{2} + 8})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.1.4.3.3

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 8}$ como ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.1.4.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.3.3.2.1

Simplifique ${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.3.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.1.4.3.3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.1.4.3.3.2.1.3

Multiplique ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.1.4.3.3.2.1.4

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.3.3.2.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

${(x^{2} + 8)}^{1} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.1.4.3.3.2.1.5

Simplifique.

$x^{2} + 8 \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.1.4.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.3.3.3.1

Simplifique ${(- 4 + x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.3.3.3.1.1

Reescreva ${(- 4 + x)}^{2}$ como $(- 4 + x) (- 4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \geq (- 4 + x) (- 4 + x)$

Etapa 4.3.1.4.3.3.3.1.2

Expanda $(- 4 + x) (- 4 + x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.3.3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 8 \geq - 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x)$

Etapa 4.3.1.4.3.3.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x)$

Etapa 4.3.1.4.3.3.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Etapa 4.3.1.4.3.3.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.1

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Etapa 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x$

Etapa 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

Etapa 4.3.1.4.3.3.3.1.3.2

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 8 x + x^{2}$

Etapa 4.3.1.4.3.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.3.4.1

Reescreva de forma que $x$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$16 - 8 x + x^{2} \leq x^{2} + 8$

Etapa 4.3.1.4.3.4.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.3.4.2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$16 - 8 x + x^{2} - x^{2} \leq 8$

Etapa 4.3.1.4.3.4.2.2

Combine os termos opostos em $16 - 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.3.4.2.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$16 - 8 x + 0 \leq 8$

Etapa 4.3.1.4.3.4.2.2.2

Some $16 - 8 x$ e $0$ .

$16 - 8 x \leq 8$

Etapa 4.3.1.4.3.4.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.3.4.3.1

Subtraia $16$ dos dois lados da desigualdade.

$- 8 x \leq 8 - 16$

Etapa 4.3.1.4.3.4.3.2

Subtraia $16$ de $8$ .

$- 8 x \leq - 8$

Etapa 4.3.1.4.3.4.4

Divida cada termo em $- 8 x \leq - 8$ por $- 8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.3.4.4.1

Divida cada termo em $- 8 x \leq - 8$ por $- 8$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Etapa 4.3.1.4.3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Etapa 4.3.1.4.3.4.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{- 8}$

Etapa 4.3.1.4.3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.3.4.4.3.1

Divida $- 8$ por $- 8$ .

$x \geq 1$

Etapa 4.3.1.4.4

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq 1$

Etapa 4.3.1.5

Defina o argumento em $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ como menor do que ou igual a $1$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Etapa 4.3.1.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.1

Multiplique os dois lados por $4$ .

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Etapa 4.3.1.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.2.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Etapa 4.3.1.6.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \leq 1 \cdot 4$

Etapa 4.3.1.6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.2.2.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4$

Etapa 4.3.1.6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.3.1

Some $x$ aos dois lados da desigualdade.

$- \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4 + x$

Etapa 4.3.1.6.3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${(- \sqrt{x^{2} + 8})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.1.6.3.3

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 8}$ como ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.1.6.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.3.3.2.1

Simplifique ${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.3.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.1.6.3.3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.1.6.3.3.2.1.3

Multiplique ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.1.6.3.3.2.1.4

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.3.3.2.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

${(x^{2} + 8)}^{1} \leq {(4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.1.6.3.3.2.1.5

Simplifique.

$x^{2} + 8 \leq {(4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.1.6.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.3.3.3.1

Simplifique ${(4 + x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.3.3.3.1.1

Reescreva ${(4 + x)}^{2}$ como $(4 + x) (4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \leq (4 + x) (4 + x)$

Etapa 4.3.1.6.3.3.3.1.2

Expanda $(4 + x) (4 + x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.3.3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 8 \leq 4 (4 + x) + x (4 + x)$

Etapa 4.3.1.6.3.3.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x (4 + x)$

Etapa 4.3.1.6.3.3.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Etapa 4.3.1.6.3.3.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Etapa 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 \cdot x + x \cdot x$

Etapa 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 x + x^{2}$

Etapa 4.3.1.6.3.3.3.1.3.2

Some $4 x$ e $4 x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 8 x + x^{2}$

Etapa 4.3.1.6.3.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.3.4.1

Reescreva de forma que $x$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$16 + 8 x + x^{2} \geq x^{2} + 8$

Etapa 4.3.1.6.3.4.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.3.4.2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$16 + 8 x + x^{2} - x^{2} \geq 8$

Etapa 4.3.1.6.3.4.2.2

Combine os termos opostos em $16 + 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.3.4.2.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$16 + 8 x + 0 \geq 8$

Etapa 4.3.1.6.3.4.2.2.2

Some $16 + 8 x$ e $0$ .

$16 + 8 x \geq 8$

Etapa 4.3.1.6.3.4.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.3.4.3.1

Subtraia $16$ dos dois lados da desigualdade.

$8 x \geq 8 - 16$

Etapa 4.3.1.6.3.4.3.2

Subtraia $16$ de $8$ .

$8 x \geq - 8$

Etapa 4.3.1.6.3.4.4

Divida cada termo em $8 x \geq - 8$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.3.4.4.1

Divida cada termo em $8 x \geq - 8$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Etapa 4.3.1.6.3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Etapa 4.3.1.6.3.4.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{8}$

Etapa 4.3.1.6.3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.3.4.4.3.1

Divida $- 8$ por $8$ .

$x \geq - 1$

Etapa 4.3.1.6.4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$x > - 1$

Etapa 4.3.1.6.5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.5.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 4.3.1.6.5.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{- (- 4) - \sqrt{{(- 4)}^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Etapa 4.3.1.6.5.1.3

O lado esquerdo $- 0.22474487$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.3.1.6.5.2

Teste um valor no intervalo $x > - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.6.5.2.1

Escolha um valor no intervalo $x > - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 4.3.1.6.5.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{- (0) - \sqrt{{(0)}^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Etapa 4.3.1.6.5.2.3

O lado esquerdo $- 0.70710678$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.3.1.6.5.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Verdadeiro

$x > - 1$ Verdadeiro

$x < - 1$ Verdadeiro

$x > - 1$ Verdadeiro

Etapa 4.3.1.6.6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 1$ ou $x \geq - 1$

Etapa 4.3.1.6.7

Combine os intervalos.

Todos os números reais

Etapa 4.3.1.7

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 1]$

Etapa 4.3.2

Encontre o domínio de $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Defina o radicando em $\sqrt{x^{2} + 8}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} + 8 \geq 0$

Etapa 4.3.2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Subtraia $8$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{2} \geq - 8$

Etapa 4.3.2.2.2

Como o lado esquerdo tem uma potência par, ele é sempre positivo para todos os números reais.

Todos os números reais

Etapa 4.3.2.3

Defina o argumento em $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ como maior do que ou igual a $- 1$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Etapa 4.3.2.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

Multiplique os dois lados por $4$ .

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Etapa 4.3.2.4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Etapa 4.3.2.4.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 1 \cdot 4$

Etapa 4.3.2.4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4$

Etapa 4.3.2.4.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.3.1

Some $x$ aos dois lados da desigualdade.

$\sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4 + x$

Etapa 4.3.2.4.3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{x^{2} + 8}}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.2.4.3.3

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 8}$ como ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.2.4.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.3.3.2.1

Simplifique ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.3.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.3.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x^{2} + 8)}^{1} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.2.4.3.3.2.1.2

Simplifique.

$x^{2} + 8 \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.2.4.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.3.3.3.1

Simplifique ${(- 4 + x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.3.3.3.1.1

Reescreva ${(- 4 + x)}^{2}$ como $(- 4 + x) (- 4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \geq (- 4 + x) (- 4 + x)$

Etapa 4.3.2.4.3.3.3.1.2

Expanda $(- 4 + x) (- 4 + x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.3.3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 8 \geq - 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x)$

Etapa 4.3.2.4.3.3.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x)$

Etapa 4.3.2.4.3.3.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Etapa 4.3.2.4.3.3.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.1

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Etapa 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x$

Etapa 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

Etapa 4.3.2.4.3.3.3.1.3.2

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 8 x + x^{2}$

Etapa 4.3.2.4.3.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.3.4.1

Reescreva de forma que $x$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$16 - 8 x + x^{2} \leq x^{2} + 8$

Etapa 4.3.2.4.3.4.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.3.4.2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$16 - 8 x + x^{2} - x^{2} \leq 8$

Etapa 4.3.2.4.3.4.2.2

Combine os termos opostos em $16 - 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.3.4.2.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$16 - 8 x + 0 \leq 8$

Etapa 4.3.2.4.3.4.2.2.2

Some $16 - 8 x$ e $0$ .

$16 - 8 x \leq 8$

Etapa 4.3.2.4.3.4.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.3.4.3.1

Subtraia $16$ dos dois lados da desigualdade.

$- 8 x \leq 8 - 16$

Etapa 4.3.2.4.3.4.3.2

Subtraia $16$ de $8$ .

$- 8 x \leq - 8$

Etapa 4.3.2.4.3.4.4

Divida cada termo em $- 8 x \leq - 8$ por $- 8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.3.4.4.1

Divida cada termo em $- 8 x \leq - 8$ por $- 8$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Etapa 4.3.2.4.3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Etapa 4.3.2.4.3.4.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{- 8}$

Etapa 4.3.2.4.3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.3.4.4.3.1

Divida $- 8$ por $- 8$ .

$x \geq 1$

Etapa 4.3.2.4.4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 1$

$x > 1$

Etapa 4.3.2.4.5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.5.1

Teste um valor no intervalo $x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 4.3.2.4.5.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{- (0) + \sqrt{{(0)}^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Etapa 4.3.2.4.5.1.3

O lado esquerdo $0.70710678$ é maior do que o lado direito $- 1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.3.2.4.5.2

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.5.2.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 4.3.2.4.5.2.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{- (4) + \sqrt{{(4)}^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Etapa 4.3.2.4.5.2.3

O lado esquerdo $0.22474487$ é maior do que o lado direito $- 1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.3.2.4.5.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Verdadeiro

$x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Verdadeiro

Etapa 4.3.2.4.6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq 1$ ou $x \geq 1$

Etapa 4.3.2.4.7

Combine os intervalos.

Todos os números reais

Etapa 4.3.2.5

Defina o argumento em $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ como menor do que ou igual a $1$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Etapa 4.3.2.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.1

Multiplique os dois lados por $4$ .

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Etapa 4.3.2.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.2.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Etapa 4.3.2.6.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \leq 1 \cdot 4$

Etapa 4.3.2.6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.2.2.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4$

Etapa 4.3.2.6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.1

Some $x$ aos dois lados da desigualdade.

$\sqrt{x^{2} + 8} \leq 4 + x$

Etapa 4.3.2.6.3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{x^{2} + 8}}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.2.6.3.3

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 8}$ como ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.2.6.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.3.2.1

Simplifique ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x^{2} + 8)}^{1} \leq {(4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.2.6.3.3.2.1.2

Simplifique.

$x^{2} + 8 \leq {(4 + x)}^{2}$

Etapa 4.3.2.6.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.3.3.1

Simplifique ${(4 + x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.3.3.1.1

Reescreva ${(4 + x)}^{2}$ como $(4 + x) (4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \leq (4 + x) (4 + x)$

Etapa 4.3.2.6.3.3.3.1.2

Expanda $(4 + x) (4 + x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 8 \leq 4 (4 + x) + x (4 + x)$

Etapa 4.3.2.6.3.3.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x (4 + x)$

Etapa 4.3.2.6.3.3.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Etapa 4.3.2.6.3.3.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Etapa 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 \cdot x + x \cdot x$

Etapa 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 x + x^{2}$

Etapa 4.3.2.6.3.3.3.1.3.2

Some $4 x$ e $4 x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 8 x + x^{2}$

Etapa 4.3.2.6.3.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.4.1

Reescreva de forma que $x$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$16 + 8 x + x^{2} \geq x^{2} + 8$

Etapa 4.3.2.6.3.4.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.4.2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$16 + 8 x + x^{2} - x^{2} \geq 8$

Etapa 4.3.2.6.3.4.2.2

Combine os termos opostos em $16 + 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.4.2.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$16 + 8 x + 0 \geq 8$

Etapa 4.3.2.6.3.4.2.2.2

Some $16 + 8 x$ e $0$ .

$16 + 8 x \geq 8$

Etapa 4.3.2.6.3.4.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.4.3.1

Subtraia $16$ dos dois lados da desigualdade.

$8 x \geq 8 - 16$

Etapa 4.3.2.6.3.4.3.2

Subtraia $16$ de $8$ .

$8 x \geq - 8$

Etapa 4.3.2.6.3.4.4

Divida cada termo em $8 x \geq - 8$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.4.4.1

Divida cada termo em $8 x \geq - 8$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Etapa 4.3.2.6.3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Etapa 4.3.2.6.3.4.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{8}$

Etapa 4.3.2.6.3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.4.4.3.1

Divida $- 8$ por $8$ .

$x \geq - 1$

Etapa 4.3.2.7

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- 1, \infty)$

Etapa 4.3.3

Encontre a união de $(- \infty, 1], [- 1, \infty)$ .

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Etapa 4.3.3.1

A união consiste em todos os elementos contidos em cada intervalo.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 4.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ não é igual ao intervalo de $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ , então, $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ não é um inverso de $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ .

Não há inverso

Etapa 5