Trigonometria Exemplos

$\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$ .

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$

Etapa 2.2

Multiplique os dois lados por $1 + \cot (y)$ .

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.1.1

Simplifique $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y))$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $1 + \cot (y)$ .

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Etapa 2.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

Etapa 2.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$1 - \cot (- y) = x (1 + \cot (y))$

Etapa 2.3.1.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1.2.1

Como $\cot (- y)$ é uma função ímpar, reescreva $\cot (- y)$ como $- \cot (y)$ .

$1 - - \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Etapa 2.3.1.1.2.2

Multiplique $- - \cot (y)$ .

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Etapa 2.3.1.1.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 1 \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Etapa 2.3.1.1.2.2.2

Multiplique $\cot (y)$ por $1$ .

$1 + \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique $x (1 + \cot (y))$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + \cot (y) = x \cdot 1 + x \cot (y)$

Etapa 2.3.2.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$1 + \cot (y) = x + x \cot (y)$

Etapa 2.4

Resolva $y$ .

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Etapa 2.4.1

Substitua $u$ por $\cot (y)$ .

$1 + u = x + x (u)$

Etapa 2.4.2

Subtraia $x u$ dos dois lados da equação.

$1 + u - x u = x$

Etapa 2.4.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u - x u = x - 1$

Etapa 2.4.4

Fatore $u$ de $u - x u$ .

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Etapa 2.4.4.1

Fatore $u$ de $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - x u = x - 1$

Etapa 2.4.4.2

Fatore $u$ de $- x u$ .

$u \cdot 1 + u (- x) = x - 1$

Etapa 2.4.4.3

Fatore $u$ de $u \cdot 1 + u (- x)$ .

$u (1 - x) = x - 1$

Etapa 2.4.5

Divida cada termo em $u (1 - x) = x - 1$ por $1 - x$ e simplifique.

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Etapa 2.4.5.1

Divida cada termo em $u (1 - x) = x - 1$ por $1 - x$ .

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Etapa 2.4.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.5.2.1

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

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Etapa 2.4.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Etapa 2.4.5.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Etapa 2.4.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.5.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u = \frac{x - 1}{1 - x}$

Etapa 2.4.5.3.2

Cancele o fator comum de $x - 1$ e $1 - x$ .

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Etapa 2.4.5.3.2.1

Fatore $- 1$ de $x$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1}{1 - x}$

Etapa 2.4.5.3.2.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1 (1)}{1 - x}$

Etapa 2.4.5.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{1 - x}$

Etapa 2.4.5.3.2.4

Reordene os termos.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Etapa 2.4.5.3.2.5

Cancele o fator comum.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Etapa 2.4.5.3.2.6

Divida $- 1$ por $1$ .

$u = - 1$

Etapa 2.4.6

Substitua $\cot (y)$ por $u$ .

$\cot (y) = - 1$

Etapa 2.4.7

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro da cotangente.

$y = arccot (- 1)$

Etapa 2.4.8

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.8.1

O valor exato de $arccot (- 1)$ é $\frac{3 π}{4}$ .

$y = \frac{3 π}{4}$

Etapa 2.4.9

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$y = \frac{3 π}{4} - π$

Etapa 2.4.10

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 2.4.10.1

Some $2 π$ a $\frac{3 π}{4} - π$ .

$y = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Etapa 2.4.10.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{4}$ é positivo e coterminal com $\frac{3 π}{4} - π$ .

$y = \frac{7 π}{4}$

Etapa 2.4.11

Encontre o período de $\cot (y)$ .

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Etapa 2.4.11.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 2.4.11.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 2.4.11.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 2.4.11.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.4.12

O período da função $\cot (y)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$y = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.5

Consolide as respostas.

$y = \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ é o inverso de $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = \frac{3 π}{4} + π n$

Etapa 4.2.3

Reordene $\frac{3 π}{4}$ e $π n$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = π n + \frac{3 π}{4}$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{3 π}{4} + π n)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- (\frac{3 π}{4} + π n))}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

Etapa 4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- \frac{3 π}{4} - π n)}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ é o inverso de $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$