Trigonometria Exemplos

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$

Etapa 1

Subtraia $\frac{1}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, 1, x$

Etapa 2.2

Since $y, 1, x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

Etapa 2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.5

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.6

O fator de $y^{1}$ é o próprio $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O fator de $x^{1}$ é o próprio $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.8

O MMC de $y^{1}, x^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y \cdot x$

Etapa 2.9

Multiplique $y$ por $x$ .

$y x$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$ por $y x$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$ por $y x$ .

$\frac{1}{y} (y x) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Fatore $y$ de $y x$ .

$\frac{1}{y} (y (x)) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} (y x) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Etapa 3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$x = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Multiplique $y x$ por $1$ .

$x = y x - \frac{1}{x} (y x)$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x}$ para o numerador.

$x = y x + \frac{- 1}{x} (y x)$

Etapa 3.3.1.2.2

Fatore $x$ de $y x$ .

$x = y x + \frac{- 1}{x} (x y)$

Etapa 3.3.1.2.3

Cancele o fator comum.

$x = y x + \frac{- 1}{x} (x y)$

Etapa 3.3.1.2.4

Reescreva a expressão.

$x = y x - y$

Etapa 4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como $y x - y = x$ .

$y x - y = x$

Etapa 4.2

Fatore $y$ de $y x - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $y$ de $y x$ .

$y (x) - y = x$

Etapa 4.2.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

Etapa 4.2.3

Fatore $y$ de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x$

Etapa 4.3

Divida cada termo em $y (x - 1) = x$ por $x - 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Divida cada termo em $y (x - 1) = x$ por $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Etapa 4.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

Etapa 5

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y}{y - 1}$

Etapa 6

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique a equação por $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique $(y - 1) (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y x - 1 x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y x - x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y x - x = \frac{y}{y - 1} (y - 1)$

Etapa 6.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y x - x = y$

Etapa 6.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$y x - x - y = 0$

Etapa 6.4.2

Some $x$ aos dois lados da equação.

$y x - y = x$

Etapa 6.4.3

Fatore $y$ de $y x - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Fatore $y$ de $y x$ .

$y (x) - y = x$

Etapa 6.4.3.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

Etapa 6.4.3.3

Fatore $y$ de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x$

Etapa 6.4.4

Divida cada termo em $y (x - 1) = x$ por $x - 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.1

Divida cada termo em $y (x - 1) = x$ por $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Etapa 6.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Etapa 6.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

Etapa 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

Etapa 8

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

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Etapa 8.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 8.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 8.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{x}{x - 1})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Etapa 8.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Etapa 8.2.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.4.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Etapa 8.2.4.2

Combine $- 1$ e $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Etapa 8.2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Etapa 8.2.4.4

Reescreva $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 8.2.4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Etapa 8.2.4.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Etapa 8.2.4.4.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Etapa 8.2.4.4.4

Some $0$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Etapa 8.2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Etapa 8.2.6

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.6.1

Fatore $x - 1$ de $1 (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Etapa 8.2.6.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Etapa 8.2.6.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = x$

Etapa 8.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 8.3.2

Avalie $f (\frac{x}{x - 1})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Etapa 8.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Etapa 8.3.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Etapa 8.3.4.2

Combine $- 1$ e $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Etapa 8.3.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Etapa 8.3.4.4

Reescreva $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Etapa 8.3.4.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Etapa 8.3.4.4.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Etapa 8.3.4.4.4

Some $0$ e $1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Etapa 8.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Etapa 8.3.6

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.6.1

Fatore $x - 1$ de $1 (x - 1)$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Etapa 8.3.6.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Etapa 8.3.6.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x}{x - 1}) = x$

Etapa 8.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$