Trigonometria Exemplos

$- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - y^{2}}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - y^{2}} = x$ .

$- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - y^{2}} = x$

Etapa 2.2

Multiplique os dois lados da equação por $- 7$ .

$- 7 (- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - y^{2}}) = - 7 x$

Etapa 2.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique $- 7 (- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - y^{2}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$- 7 (- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{4^{2} - y^{2}}) = - 7 x$

Etapa 2.3.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4$ e $b = y$ .

$- 7 (- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{(4 + y) (4 - y)}) = - 7 x$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Combine $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ e $\frac{1}{7}$ .

$- 7 (- \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{7}) = - 7 x$

Etapa 2.3.1.3.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{7}$ para o numerador.

$- 7 \frac{- \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{7} = - 7 x$

Etapa 2.3.1.3.2.2

Fatore $7$ de $- 7$ .

$7 (- 1) \frac{- \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{7} = - 7 x$

Etapa 2.3.1.3.2.3

Cancele o fator comum.

$7 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{7} = - 7 x$

Etapa 2.3.1.3.2.4

Reescreva a expressão.

$- - \sqrt{(4 + y) (4 - y)} = - 7 x$

Etapa 2.3.1.3.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sqrt{(4 + y) (4 - y)} = - 7 x$

Etapa 2.3.1.3.3.2

Multiplique $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ por $1$ .

$\sqrt{(4 + y) (4 - y)} = - 7 x$

Etapa 2.4

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2} = {(- 7 x)}^{2}$

Etapa 2.5

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ como ${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 7 x)}^{2}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Simplifique ${({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 7 x)}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 7 x)}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${((4 + y) (4 - y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.2

Expanda $(4 + y) (4 - y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(4 (4 - y) + y (4 - y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(4 \cdot 4 + 4 (- y) + y (4 - y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

${(4 \cdot 4 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.3.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

${(16 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

${(16 - 4 y + y \cdot 4 + y (- y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.3.1.3

Mova $4$ para a esquerda de $y$ .

${(16 - 4 y + 4 \cdot y + y (- y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

${(16 - 4 y + 4 y - y \cdot y)}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.3.1.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.3.1.5.1

Mova $y$ .

${(16 - 4 y + 4 y - (y \cdot y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.3.1.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

${(16 - 4 y + 4 y - y^{2})}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.3.2

Some $- 4 y$ e $4 y$ .

${(16 + 0 - y^{2})}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.3.3

Some $16$ e $0$ .

${(16 - y^{2})}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.4

Simplifique.

$16 - y^{2} = {(- 7 x)}^{2}$

Etapa 2.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Simplifique ${(- 7 x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.1

Aplique a regra do produto a $- 7 x$ .

$16 - y^{2} = {(- 7)}^{2} x^{2}$

Etapa 2.5.3.1.2

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$16 - y^{2} = 49 x^{2}$

Etapa 2.6

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$- y^{2} = 49 x^{2} - 16$

Etapa 2.6.2

Divida cada termo em $- y^{2} = 49 x^{2} - 16$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Divida cada termo em $- y^{2} = 49 x^{2} - 16$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{49 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 2.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{49 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 2.6.2.2.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{49 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 2.6.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{49 x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (49 x^{2}) + \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 2.6.2.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (49 x^{2})$ como $- (49 x^{2})$ .

$y^{2} = - (49 x^{2}) + \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 2.6.2.3.1.3

Multiplique $49$ por $- 1$ .

$y^{2} = - 49 x^{2} + \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 2.6.2.3.1.4

Divida $- 16$ por $- 1$ .

$y^{2} = - 49 x^{2} + 16$

Etapa 2.6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 49 x^{2} + 16}$

Etapa 2.6.4

Simplifique $\pm \sqrt{- 49 x^{2} + 16}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 49 x^{2} + 4^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.2

Reescreva $49 x^{2}$ como ${(7 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- {(7 x)}^{2} + 4^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.3

Reordene $- {(7 x)}^{2}$ e $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{4^{2} - {(7 x)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4$ e $b = 7 x$ .

$y = \pm \sqrt{(4 + 7 x) (4 - (7 x))}$

Etapa 2.6.4.3

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

Etapa 2.6.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

Etapa 2.6.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

Etapa 2.6.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}, - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}, - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ é o inverso de $f (x) = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}, - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ e os compare.

Etapa 4.2

Encontre o intervalo de $f (x) = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- \frac{4}{7}, 0]$

Etapa 4.3

Encontre o domínio de $\sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(4 + 7 x) (4 - 7 x) \geq 0$

Etapa 4.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 + 7 x = 0$

$4 - 7 x = 0$

Etapa 4.3.2.2

Defina $4 + 7 x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Defina $4 + 7 x$ como igual a $0$ .

$4 + 7 x = 0$

Etapa 4.3.2.2.2

Resolva $4 + 7 x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$7 x = - 4$

Etapa 4.3.2.2.2.2

Divida cada termo em $7 x = - 4$ por $7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.2.2.1

Divida cada termo em $7 x = - 4$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 4}{7}$

Etapa 4.3.2.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 4}{7}$

Etapa 4.3.2.2.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{7}$

Etapa 4.3.2.2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{4}{7}$

Etapa 4.3.2.3

Defina $4 - 7 x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Defina $4 - 7 x$ como igual a $0$ .

$4 - 7 x = 0$

Etapa 4.3.2.3.2

Resolva $4 - 7 x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- 7 x = - 4$

Etapa 4.3.2.3.2.2

Divida cada termo em $- 7 x = - 4$ por $- 7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.2.1

Divida cada termo em $- 7 x = - 4$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 4}{- 7}$

Etapa 4.3.2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 4}{- 7}$

Etapa 4.3.2.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 7}$

Etapa 4.3.2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{4}{7}$

Etapa 4.3.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(4 + 7 x) (4 - 7 x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{4}{7}, \frac{4}{7}$

Etapa 4.3.2.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{4}{7}$

$- \frac{4}{7} < x < \frac{4}{7}$

$x > \frac{4}{7}$

Etapa 4.3.2.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{4}{7}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{4}{7}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 4.3.2.6.1.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

$(4 + 7 (- 3)) (4 - 7 \cdot - 3) \geq 0$

Etapa 4.3.2.6.1.3

O lado esquerdo $- 425$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.3.2.6.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{4}{7} < x < \frac{4}{7}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{4}{7} < x < \frac{4}{7}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 4.3.2.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$(4 + 7 (0)) (4 - 7 \cdot 0) \geq 0$

Etapa 4.3.2.6.2.3

O lado esquerdo $16$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 4.3.2.6.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{4}{7}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{4}{7}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 4.3.2.6.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$(4 + 7 (3)) (4 - 7 \cdot 3) \geq 0$

Etapa 4.3.2.6.3.3

O lado esquerdo $- 425$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.3.2.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{4}{7}$ Falso

$- \frac{4}{7} < x < \frac{4}{7}$ Verdadeiro

$x > \frac{4}{7}$ Falso

$x < - \frac{4}{7}$ Falso

$- \frac{4}{7} < x < \frac{4}{7}$ Verdadeiro

$x > \frac{4}{7}$ Falso

Etapa 4.3.2.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{4}{7} \leq x \leq \frac{4}{7}$

Etapa 4.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- \frac{4}{7}, \frac{4}{7}]$

Etapa 4.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}, - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ não é igual ao intervalo de $f (x) = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$ , então, $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}, - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ não é um inverso de $f (x) = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$ .

Não há inverso

Etapa 5