Trigonometria Exemplos

$- \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 y)}}{1 + \cos (6 y)}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $- \frac{\sqrt{1 - \cos (6 y)}}{1 + \cos (6 y)} = x$ .

$- \frac{\sqrt{1 - \cos (6 y)}}{1 + \cos (6 y)} = x$

Etapa 2.2

Calcule a regra de três.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Calcule a regra de três definindo o produto do numerador do lado direito e o denominador do lado esquerdo como igual ao produto do numerador do lado esquerdo e o denominador do lado direito.

$x \cdot (1 + \cos (6 y)) = - \sqrt{1 - \cos (6 y)}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique $x \cdot (1 + \cos (6 y))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot 1 + x \cos (6 y) = - \sqrt{1 - \cos (6 y)}$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x + x \cos (6 y) = - \sqrt{1 - \cos (6 y)}$

Etapa 2.3

Reescreva a equação como $- \sqrt{1 - \cos (6 y)} = x + x \cos (6 y)$ .

$- \sqrt{1 - \cos (6 y)} = x + x \cos (6 y)$

Etapa 2.4

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(- \sqrt{1 - \cos (6 y)})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Etapa 2.5

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - \cos (6 y)}$ como ${(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Simplifique ${(- {(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- {(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 {({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.3

Multiplique ${({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.4

Multiplique os expoentes em ${({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

${(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

${(1 - \cos (6 y))}^{1} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Etapa 2.5.2.1.5

Simplifique.

$1 - \cos (6 y) = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Etapa 2.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Simplifique ${(x + x \cos (6 y))}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.1

Reescreva ${(x + x \cos (6 y))}^{2}$ como $(x + x \cos (6 y)) (x + x \cos (6 y))$ .

$1 - \cos (6 y) = (x + x \cos (6 y)) (x + x \cos (6 y))$

Etapa 2.5.3.1.2

Expanda $(x + x \cos (6 y)) (x + x \cos (6 y))$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 - \cos (6 y) = x (x + x \cos (6 y)) + x \cos (6 y) (x + x \cos (6 y))$

Etapa 2.5.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 - \cos (6 y) = x \cdot x + x (x \cos (6 y)) + x \cos (6 y) (x + x \cos (6 y))$

Etapa 2.5.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 - \cos (6 y) = x \cdot x + x (x \cos (6 y)) + x \cos (6 y) x + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

Etapa 2.5.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x (x \cos (6 y)) + x \cos (6 y) x + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

Etapa 2.5.3.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x \cdot x \cos (6 y) + x \cos (6 y) x + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

Etapa 2.5.3.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x \cos (6 y) x + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

Etapa 2.5.3.1.3.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.3.1.3.1

Mova $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x \cdot x \cos (6 y) + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

Etapa 2.5.3.1.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

Etapa 2.5.3.1.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.3.1.4.1

Mova $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x \cdot x \cos (6 y) \cos (6 y)$

Etapa 2.5.3.1.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) \cos (6 y)$

Etapa 2.5.3.1.3.1.5

Multiplique $x^{2} \cos (6 y) \cos (6 y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.3.1.5.1

Eleve $\cos (6 y)$ à potência de $1$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} (\cos^{1} (6 y) \cos (6 y))$

Etapa 2.5.3.1.3.1.5.2

Eleve $\cos (6 y)$ à potência de $1$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} (\cos^{1} (6 y) \cos^{1} (6 y))$

Etapa 2.5.3.1.3.1.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} {\cos (6 y)}^{1 + 1}$

Etapa 2.5.3.1.3.1.5.4

Some $1$ e $1$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos^{2} (6 y)$

Etapa 2.5.3.1.3.2

Some $x^{2} \cos (6 y)$ e $x^{2} \cos (6 y)$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + 2 x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos^{2} (6 y)$

Etapa 2.6

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Substitua $u$ por $\cos (6 y)$ .

$1 - (u) = x^{2} + 2 x^{2} (u) + x^{2} {(u)}^{2}$

Etapa 2.6.2

Como $u$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$x^{2} + 2 x^{2} u + x^{2} u^{2} = 1 - u$

Etapa 2.6.3

Some $u$ aos dois lados da equação.

$x^{2} + 2 x^{2} u + x^{2} u^{2} + u = 1$

Etapa 2.6.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 2 x^{2} u + x^{2} u^{2} + u - 1 = 0$

Etapa 2.6.5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.6.6

Substitua os valores $a = x^{2}$ , $b = 2 x^{2} + 1$ e $c = x^{2} - 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 1) \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot (x^{2} \cdot (x^{2} - 1))}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.4

Reescreva ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ como $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.5

Expanda $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.7.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2} + 1) + 1 (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.7.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.7.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.6.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.7.6.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.6.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.6.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.6.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.6.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.6.1.5

Multiplique $2 x^{2}$ por $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.6.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.6.2

Some $2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.7

Aplique a propriedade distributiva.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.8

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.7.8.1

Mova $x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.8.3

Some $2$ e $2$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.9

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{4} + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.10

Subtraia $4 x^{4}$ de $4 x^{4}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{2} + 1 + 0 + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.11

Some $4 x^{2}$ e $0$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{2} + 1 + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.7.12

Some $4 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.8.1

Altere $\pm$ para $+$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.8.2

Fatore $- 1$ de $- 2 x^{2}$ .

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.8.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.8.4

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{2}) - 1 (1)$ .

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1) + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.8.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ .

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1) - 1 (- \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.8.6

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{2} + 1) - 1 (- \sqrt{8 x^{2} + 1})$ .

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.8.7

Reescreva $- (2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1})$ como $- 1 (2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1})$ .

$u = \frac{- 1 (2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.8.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 2.6.9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.9.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.4

Reescreva ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ como $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.5

Expanda $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.9.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2} + 1) + 1 (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.6.9.1.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.9.1.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.6.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.9.1.6.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.6.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.6.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.6.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.6.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.6.1.5

Multiplique $2 x^{2}$ por $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.6.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.6.2

Some $2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.8

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.9.1.8.1

Mova $x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.8.3

Some $2$ e $2$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.9

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{4} + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.10

Subtraia $4 x^{4}$ de $4 x^{4}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{2} + 1 + 0 + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.11

Some $4 x^{2}$ e $0$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{2} + 1 + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.1.12

Some $4 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.2

Altere $\pm$ para $-$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.3

Fatore $- 1$ de $- 2 x^{2}$ .

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.5

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{2}) - 1 (1)$ .

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1) - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.6

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{8 x^{2} + 1}$ .

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1) - (\sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.7

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{2} + 1) - (\sqrt{8 x^{2} + 1})$ .

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.8

Reescreva $- (2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1})$ como $- 1 (2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1})$ .

$u = \frac{- 1 (2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.9.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.10

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

$u = - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.11

Substitua $\cos (6 y)$ por $u$ .

$\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}, - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.12

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $y$ .

$\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

$\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Etapa 2.6.13

Resolva $y$ em $\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.13.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do cosseno.

$6 y = \arccos (- \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Etapa 2.6.13.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.13.2.1

Simplifique $\arccos (- \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.13.2.1.1

Divida a fração $\frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ em duas frações.

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Etapa 2.6.13.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.13.2.1.2.1

Divida a fração $\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2}}$ em duas frações.

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Etapa 2.6.13.2.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.13.2.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.13.2.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Etapa 2.6.13.2.1.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$6 y = \arccos (- (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Etapa 2.6.13.2.1.2.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.13.2.1.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$6 y = \arccos (- (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Etapa 2.6.13.2.1.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$6 y = \arccos (- (1 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Etapa 2.6.13.2.1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 y = \arccos (- (1 + \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Etapa 2.6.13.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 y = \arccos (- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Etapa 2.6.13.2.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.13.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Etapa 2.6.13.2.1.4.2

Multiplique $- - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.13.2.1.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + 1 \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Etapa 2.6.13.2.1.4.2.2

Multiplique $\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ por $1$ .

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Etapa 2.6.13.3

Divida cada termo em $6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.13.3.1

Divida cada termo em $6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ por $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Etapa 2.6.13.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.13.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.13.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Etapa 2.6.13.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Etapa 2.6.14

Resolva $y$ em $\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.14.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do cosseno.

$6 y = \arccos (- \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Etapa 2.6.14.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.14.2.1

Simplifique $\arccos (- \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.14.2.1.1

Divida a fração $\frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ em duas frações.

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Etapa 2.6.14.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.14.2.1.2.1

Divida a fração $\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2}}$ em duas frações.

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Etapa 2.6.14.2.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.14.2.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.14.2.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Etapa 2.6.14.2.1.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$6 y = \arccos (- (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Etapa 2.6.14.2.1.2.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.14.2.1.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$6 y = \arccos (- (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Etapa 2.6.14.2.1.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$6 y = \arccos (- (1 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Etapa 2.6.14.2.1.3

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.14.2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 y = \arccos (- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Etapa 2.6.14.2.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Etapa 2.6.14.3

Divida cada termo em $6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.14.3.1

Divida cada termo em $6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ por $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Etapa 2.6.14.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.14.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.14.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Etapa 2.6.14.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Etapa 2.6.15

Liste todas as soluções.

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ é o inverso de $f (x) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ e os compare.

Etapa 4.2

Encontre o domínio de $\frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Defina o radicando em $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$8 x^{2} + 1 \geq 0$

Etapa 4.2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$8 x^{2} \geq - 1$

Etapa 4.2.2.2

Divida cada termo em $8 x^{2} \geq - 1$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Divida cada termo em $8 x^{2} \geq - 1$ por $8$ .

$\frac{8 x^{2}}{8} \geq \frac{- 1}{8}$

Etapa 4.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x^{2}}{8} \geq \frac{- 1}{8}$

Etapa 4.2.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 1}{8}$

Etapa 4.2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} \geq - \frac{1}{8}$

Etapa 4.2.2.3

Como o lado esquerdo tem uma potência par, ele é sempre positivo para todos os números reais.

Todos os números reais

Etapa 4.2.3

Defina o argumento em $\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ como maior do que ou igual a $- 1$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq - 1$

Etapa 4.2.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Resolva $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ para o lado direito da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1.1.1

Some $1$ aos dois lados da desigualdade.

$- \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq - 1 + 1$

Etapa 4.2.4.1.1.2

Some $\frac{1}{2 x^{2}}$ aos dois lados da desigualdade.

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq - 1 + 1 + \frac{1}{2 x^{2}}$

Etapa 4.2.4.1.1.3

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq 0 + \frac{1}{2 x^{2}}$

Etapa 4.2.4.1.1.4

Some $0$ e $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq \frac{1}{2 x^{2}}$

Etapa 4.2.4.1.2

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \geq 1$

Etapa 4.2.4.2

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{8 x^{2} + 1}}^{2} \geq 1^{2}$

Etapa 4.2.4.3

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ como ${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Etapa 4.2.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.3.2.1

Simplifique ${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Etapa 4.2.4.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Etapa 4.2.4.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(8 x^{2} + 1)}^{1} \geq 1^{2}$

Etapa 4.2.4.3.2.1.2

Simplifique.

$8 x^{2} + 1 \geq 1^{2}$

Etapa 4.2.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.3.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$8 x^{2} + 1 \geq 1$

Etapa 4.2.4.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.4.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.4.1.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$8 x^{2} \geq 1 - 1$

Etapa 4.2.4.4.1.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$8 x^{2} \geq 0$

Etapa 4.2.4.4.2

Divida cada termo em $8 x^{2} \geq 0$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.4.2.1

Divida cada termo em $8 x^{2} \geq 0$ por $8$ .

$\frac{8 x^{2}}{8} \geq \frac{0}{8}$

Etapa 4.2.4.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x^{2}}{8} \geq \frac{0}{8}$

Etapa 4.2.4.4.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \geq \frac{0}{8}$

Etapa 4.2.4.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.4.2.3.1

Divida $0$ por $8$ .

$x^{2} \geq 0$

Etapa 4.2.4.4.3

Como o lado esquerdo tem uma potência par, ele é sempre positivo para todos os números reais.

Todos os números reais

Etapa 4.2.5

Defina o argumento em $\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ como menor do que ou igual a $1$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \leq 1$

Etapa 4.2.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Resolva $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ para o lado direito da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1.1.1

Some $1$ aos dois lados da desigualdade.

$- \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \leq 1 + 1$

Etapa 4.2.6.1.1.2

Some $\frac{1}{2 x^{2}}$ aos dois lados da desigualdade.

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \leq 1 + 1 + \frac{1}{2 x^{2}}$

Etapa 4.2.6.1.1.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \leq 2 + \frac{1}{2 x^{2}}$

Etapa 4.2.6.1.2

Multiplique os dois lados por $2 x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} (2 x^{2}) \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Etapa 4.2.6.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1.3.1.1

Simplifique $\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} (2 x^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1.3.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Etapa 4.2.6.1.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 (x^{2})} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Etapa 4.2.6.1.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Etapa 4.2.6.1.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{x^{2}} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Etapa 4.2.6.1.3.1.1.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1.3.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{x^{2}} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Etapa 4.2.6.1.3.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Etapa 4.2.6.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1.3.2.1

Simplifique $(2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1.3.2.1.1

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1.3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 2 (2 x^{2}) + \frac{1}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Etapa 4.2.6.1.3.2.1.1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1.3.2.1.1.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + \frac{1}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Etapa 4.2.6.1.3.2.1.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + 2 \frac{1}{2 x^{2}} x^{2}$

Etapa 4.2.6.1.3.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1.3.2.1.2.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + 2 \frac{1}{2 (x^{2})} x^{2}$

Etapa 4.2.6.1.3.2.1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + 2 \frac{1}{2 x^{2}} x^{2}$

Etapa 4.2.6.1.3.2.1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Etapa 4.2.6.1.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1.3.2.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Etapa 4.2.6.1.3.2.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + 1$

Etapa 4.2.6.2

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{8 x^{2} + 1}}^{2} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 4.2.6.3

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ como ${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 4.2.6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.3.2.1

Simplifique ${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 4.2.6.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 4.2.6.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(8 x^{2} + 1)}^{1} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 4.2.6.3.2.1.2

Simplifique.

$8 x^{2} + 1 \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 4.2.6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.3.3.1

Simplifique ${(4 x^{2} + 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.3.3.1.1

Reescreva ${(4 x^{2} + 1)}^{2}$ como $(4 x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)$ .

$8 x^{2} + 1 \leq (4 x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)$

Etapa 4.2.6.3.3.1.2

Expanda $(4 x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x^{2} + 1 \leq 4 x^{2} (4 x^{2} + 1) + 1 (4 x^{2} + 1)$

Etapa 4.2.6.3.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x^{2} + 1 \leq 4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2} + 1)$

Etapa 4.2.6.3.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x^{2} + 1 \leq 4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.6.3.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.3.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.3.3.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 x^{2} + 1 \leq 4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.6.3.3.1.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.3.3.1.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.6.3.3.1.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 x^{2} + 1 \leq 4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.6.3.3.1.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.6.3.3.1.3.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.6.3.3.1.3.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 4 x^{2} + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.6.3.3.1.3.1.5

Multiplique $4 x^{2}$ por $1$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.6.3.3.1.3.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 1$

Etapa 4.2.6.3.3.1.3.2

Some $4 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 8 x^{2} + 1$

Etapa 4.2.6.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.4.1

Reescreva de forma que $x$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$16 x^{4} + 8 x^{2} + 1 \geq 8 x^{2} + 1$

Etapa 4.2.6.4.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.4.2.1

Subtraia $8 x^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$16 x^{4} + 8 x^{2} + 1 - 8 x^{2} \geq 1$

Etapa 4.2.6.4.2.2

Combine os termos opostos em $16 x^{4} + 8 x^{2} + 1 - 8 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.4.2.2.1

Subtraia $8 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$16 x^{4} + 0 + 1 \geq 1$

Etapa 4.2.6.4.2.2.2

Some $16 x^{4}$ e $0$ .

$16 x^{4} + 1 \geq 1$

Etapa 4.2.6.4.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.4.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$16 x^{4} \geq 1 - 1$

Etapa 4.2.6.4.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$16 x^{4} \geq 0$

Etapa 4.2.6.4.4

Divida cada termo em $16 x^{4} \geq 0$ por $16$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.4.4.1

Divida cada termo em $16 x^{4} \geq 0$ por $16$ .

$\frac{16 x^{4}}{16} \geq \frac{0}{16}$

Etapa 4.2.6.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16 x^{4}}{16} \geq \frac{0}{16}$

Etapa 4.2.6.4.4.2.1.2

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} \geq \frac{0}{16}$

Etapa 4.2.6.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.4.4.3.1

Divida $0$ por $16$ .

$x^{4} \geq 0$

Etapa 4.2.6.4.5

Como o lado esquerdo tem uma potência par, ele é sempre positivo para todos os números reais.

Todos os números reais

Etapa 4.2.7

Defina o denominador em $\frac{1}{2 x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 x^{2} = 0$

Etapa 4.2.8

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.1

Divida cada termo em $2 x^{2} = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.1.1

Divida cada termo em $2 x^{2} = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.2.8.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.2.8.1.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.2.8.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 4.2.8.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 4.2.8.3

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.3.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.2.8.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 4.2.8.3.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.2.9

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 4.3

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ não é igual ao intervalo de $f (x) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ não é um inverso de $f (x) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$ .

Não há inverso

Etapa 5