Trigonometria Exemplos

$45^{y}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $45^{y} = x$ .

$45^{y} = x$

Etapa 2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (45^{y}) = \ln (x)$

Etapa 3

Expanda $\ln (45^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (45) = \ln (x)$

Etapa 4

Divida cada termo em $y \ln (45) = \ln (x)$ por $\ln (45)$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $y \ln (45) = \ln (x)$ por $\ln (45)$ .

$\frac{y \ln (45)}{\ln (45)} = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (45)$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (45)}{\ln (45)} = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Etapa 5

Alterne as variáveis.

$x = \frac{\ln (y)}{\ln (45)}$

Etapa 6

Resolva $y$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{\ln (y)}{\ln (45)} = x$ .

$\frac{\ln (y)}{\ln (45)} = x$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados da equação por $\ln (45)$ .

$\ln (45) \frac{\ln (y)}{\ln (45)} = \ln (45) x$

Etapa 6.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.1.1

Cancele o fator comum de $\ln (45)$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\ln (45) \frac{\ln (y)}{\ln (45)} = \ln (45) x$

Etapa 6.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (y) = \ln (45) x$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.1

Reordene os fatores em $\ln (45) x$ .

$\ln (y) = x \ln (45)$

Etapa 6.4

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (y)} = e^{x \ln (45)}$

Etapa 6.5

Reescreva $\ln (y) = x \ln (45)$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x \ln (45)} = y$

Etapa 6.6

Reescreva a equação como $y = e^{x \ln (45)}$ .

$y = e^{x \ln (45)}$

Etapa 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$

Etapa 8

Verifique se $f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$ é o inverso de $f (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$ .

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Etapa 8.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 8.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 8.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 8.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{(\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) \ln (45)}$

Etapa 8.2.3

Cancele o fator comum de $\ln (45)$ .

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Etapa 8.2.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{\frac{\ln (x)}{\ln (45)} \cdot \ln (45)}$

Etapa 8.2.3.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{\ln (x)}$

Etapa 8.2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = x$

Etapa 8.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 8.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 8.3.2

Avalie $f (e^{x \ln (45)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{\ln (e^{x \ln (45)})}{\ln (45)}$

Etapa 8.3.3

Expanda $\ln (e^{x \ln (45)})$ movendo $x \ln (45)$ para fora do logaritmo.

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{x \ln (45) \ln (e)}{\ln (45)}$

Etapa 8.3.4

Cancele o fator comum de $\ln (45)$ .

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Etapa 8.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{x \ln (45) \ln (e)}{\ln (45)}$

Etapa 8.3.4.2

Divida $x \ln (e)$ por $1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x \ln (e)$

Etapa 8.3.5

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x \cdot 1$

Etapa 8.3.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x$

Etapa 8.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$ é o inverso de $f (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$