Trigonometria Exemplos

$1 - \sec^{2} (x)$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = 1 - \sec^{2} (y)$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $1 - \sec^{2} (y) = x$ .

$1 - \sec^{2} (y) = x$

Etapa 2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \sec^{2} (y) = x - 1$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $- \sec^{2} (y) = x - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $- \sec^{2} (y) = x - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sec^{2} (y)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sec^{2} (y)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.3.2.2

Divida $\sec^{2} (y)$ por $1$ .

$\sec^{2} (y) = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{x}{- 1}$ .

$\sec^{2} (y) = - 1 \cdot x + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.3.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot x$ como $- x$ .

$\sec^{2} (y) = - x + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.3.3.1.3

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\sec^{2} (y) = - x + 1$

Etapa 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (y) = \pm \sqrt{- x + 1}$

Etapa 2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sec (y) = \sqrt{- x + 1}$

Etapa 2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sec (y) = - \sqrt{- x + 1}$

Etapa 2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sec (y) = \sqrt{- x + 1}, - \sqrt{- x + 1}$

Etapa 2.6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $y$ .

$\sec (y) = \sqrt{- x + 1}$

$\sec (y) = - \sqrt{- x + 1}$

Etapa 2.7

Resolva $y$ em $\sec (y) = \sqrt{- x + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro da secante.

$y = arcsec (\sqrt{- x + 1})$

Etapa 2.8

Resolva $y$ em $\sec (y) = - \sqrt{- x + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro da secante.

$y = arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

Etapa 2.9

Liste todas as soluções.

$y = arcsec (\sqrt{- x + 1})$

$y = arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

$y = arcsec (\sqrt{- x + 1})$

$y = arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ é o inverso de $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ .

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Etapa 4.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ e $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ e os compare.

Etapa 4.2

Encontre o intervalo de $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ .

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Etapa 4.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[2, \infty)$

Etapa 4.3

Encontre o domínio de $arcsec (\sqrt{- x + 1})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{- x + 1}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- x + 1 \geq 0$

Etapa 4.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$- x \geq - 1$

Etapa 4.3.2.2

Divida cada termo em $- x \geq - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x \geq - 1$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x \leq 1$

Etapa 4.3.3

Defina o argumento em $arcsec (\sqrt{- x + 1})$ como menor do que ou igual a $- 1$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\sqrt{- x + 1} \leq - 1$

Etapa 4.3.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{- x + 1}}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.4.2

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{- x + 1}$ como ${(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.2.1

Simplifique ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.4.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(- x + 1)}^{1} \leq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.4.2.2.1.2

Simplifique.

$- x + 1 \leq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- x + 1 \leq 1$

Etapa 4.3.4.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.3.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.3.1.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$- x \leq 1 - 1$

Etapa 4.3.4.3.1.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$- x \leq 0$

Etapa 4.3.4.3.2

Divida cada termo em $- x \leq 0$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.3.2.1

Divida cada termo em $- x \leq 0$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.3.4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.3.4.3.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.3.4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.3.2.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$x \geq 0$

Etapa 4.3.4.4

Encontre o domínio de $\sqrt{- x + 1} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.4.1

Defina o radicando em $\sqrt{- x + 1}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- x + 1 \geq 0$

Etapa 4.3.4.4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$- x \geq - 1$

Etapa 4.3.4.4.2.2

Divida cada termo em $- x \geq - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.4.2.2.1

Divida cada termo em $- x \geq - 1$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.3.4.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.3.4.4.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.3.4.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.4.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x \leq 1$

Etapa 4.3.4.4.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 1]$

Etapa 4.3.4.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 4.3.4.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.6.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 4.3.4.6.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\sqrt{- (- 2) + 1} \leq - 1$

Etapa 4.3.4.6.1.3

O lado esquerdo $1.7320508$ é maior do que o lado direito $- 1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.3.4.6.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.5$

Etapa 4.3.4.6.2.2

Substitua $x$ por $0.5$ na desigualdade original.

$\sqrt{- (0.5) + 1} \leq - 1$

Etapa 4.3.4.6.2.3

O lado esquerdo $0.70710678$ é maior do que o lado direito $- 1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.3.4.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 4.3.4.6.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\sqrt{- (4) + 1} \leq - 1$

Etapa 4.3.4.6.3.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.3.4.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

Etapa 4.3.4.7

Como não há números que se enquadram no intervalo, essa desigualdade não tem solução.

Nenhuma solução

Etapa 4.3.5

Defina o argumento em $arcsec (\sqrt{- x + 1})$ como maior do que ou igual a $1$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\sqrt{- x + 1} \geq 1$

Etapa 4.3.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{- x + 1}}^{2} \geq 1^{2}$

Etapa 4.3.6.2

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{- x + 1}$ como ${(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Etapa 4.3.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.2.2.1

Simplifique ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Etapa 4.3.6.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Etapa 4.3.6.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(- x + 1)}^{1} \geq 1^{2}$

Etapa 4.3.6.2.2.1.2

Simplifique.

$- x + 1 \geq 1^{2}$

Etapa 4.3.6.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- x + 1 \geq 1$

Etapa 4.3.6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.3.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.3.1.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$- x \geq 1 - 1$

Etapa 4.3.6.3.1.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$- x \geq 0$

Etapa 4.3.6.3.2

Divida cada termo em $- x \geq 0$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.3.2.1

Divida cada termo em $- x \geq 0$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.3.6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.3.6.3.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.3.6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.3.2.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$x \leq 0$

Etapa 4.3.6.4

Encontre o domínio de $\sqrt{- x + 1} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.4.1

Defina o radicando em $\sqrt{- x + 1}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- x + 1 \geq 0$

Etapa 4.3.6.4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$- x \geq - 1$

Etapa 4.3.6.4.2.2

Divida cada termo em $- x \geq - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.4.2.2.1

Divida cada termo em $- x \geq - 1$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.3.6.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.3.6.4.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.3.6.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.4.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x \leq 1$

Etapa 4.3.6.4.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 1]$

Etapa 4.3.6.5

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq 0$

Etapa 4.3.7

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 1]$

Etapa 4.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ não é igual ao intervalo de $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ , então, $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ não é um inverso de $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ .

Não há inverso

Etapa 5