Trigonometria Exemplos

$\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt[3]{1 + \tan (y)}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\sqrt[3]{1 + \tan (y)} = x$ .

$\sqrt[3]{1 + \tan (y)} = x$

Etapa 2.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{1 + \tan (y)}}^{3} = x^{3}$

Etapa 2.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{1 + \tan (y)}$ como ${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique ${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Etapa 2.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Etapa 2.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(1 + \tan (y))}^{1} = x^{3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Simplifique.

$1 + \tan (y) = x^{3}$

Etapa 2.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\tan (y) = x^{3} - 1$

Etapa 2.5

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro da tangente.

$y = \arctan (x^{3} - 1)$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$ é o inverso de $f (x) = \sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(\sqrt[3]{1 + \tan (x)})}^{3} - 1)$

Etapa 4.2.3

Reescreva ${\sqrt[3]{1 + \tan (x)}}^{3}$ como $1 + \tan (x)$ .

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Etapa 4.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ como ${(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({({(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 1)$

Etapa 4.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1)$

Etapa 4.2.3.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{3}{3}} - 1)$

Etapa 4.2.3.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{3}{3}} - 1)$

Etapa 4.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ((1 + \tan (x)) - 1)$

Etapa 4.2.3.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (1 + \tan (x) - 1)$

Etapa 4.2.4

Combine os termos opostos em $1 + \tan (x) - 1$ .

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Etapa 4.2.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (0 + \tan (x))$

Etapa 4.2.4.2

Some $0$ e $\tan (x)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (\tan (x))$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\arctan (x^{3} - 1))$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{1 + \tan (\arctan (x^{3} - 1))}$

Etapa 4.3.3

As funções tangente e arco tangente são inversos.

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{1 + x^{3} - 1}$

Etapa 4.3.4

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Etapa 4.3.5

Some $x^{3}$ e $0$ .

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Etapa 4.3.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$ é o inverso de $f (x) = \sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$