Trigonometria Exemplos

$- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = - 4 \csc (\frac{1}{2} y) + 2$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $- 4 \csc (\frac{1}{2} y) + 2 = x$ .

$- 4 \csc (\frac{1}{2} y) + 2 = x$

Etapa 2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 4 \csc (\frac{1}{2} y) = x - 2$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $- 4 \csc (\frac{1}{2} y) = x - 2$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $- 4 \csc (\frac{1}{2} y) = x - 2$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \csc (\frac{1}{2} y)}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 2}{- 4}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 \csc (\frac{1}{2} y)}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 2}{- 4}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $\csc (\frac{1}{2} y)$ por $1$ .

$\csc (\frac{1}{2} y) = \frac{x}{- 4} + \frac{- 2}{- 4}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2}{- 4}$

Etapa 2.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.2.1

Fatore $- 2$ de $- 2$ .

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 (1)}{- 4}$

Etapa 2.3.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.2.2.1

Fatore $- 2$ de $- 4$ .

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.4

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro da cossecante.

$\frac{1}{2} y = arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Etapa 2.5

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y$ .

$\frac{y}{2} = arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Etapa 2.6

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Etapa 2.7

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.7.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y}{2} = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Etapa 2.7.1.2

Reescreva a expressão.

$y = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$ é o inverso de $f (x) = - 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2}{4} + \frac{1}{2})$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$ e $4$ .

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Etapa 4.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 4 \csc (\frac{1}{2} x)$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x)) + 2}{4} + \frac{1}{2})$

Etapa 4.2.3.1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x)) + 2 (1)}{4} + \frac{1}{2})$

Etapa 4.2.3.1.3

Fatore $2$ de $2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x)) + 2 (1)$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1)}{4} + \frac{1}{2})$

Etapa 4.2.3.1.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.3.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1)}{2 (2)} + \frac{1}{2})$

Etapa 4.2.3.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2})$

Etapa 4.2.3.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1}{2} + \frac{1}{2})$

Etapa 4.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{- 2 \csc (\frac{x}{2}) + 1}{2} + \frac{1}{2})$

Etapa 4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{- (- 2 \csc (\frac{x}{2}) + 1) + 1}{2})$

Etapa 4.2.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{- (- 2 \csc (\frac{x}{2})) - 1 \cdot 1 + 1}{2})$

Etapa 4.2.5.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2}) - 1 \cdot 1 + 1}{2})$

Etapa 4.2.5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2}) - 1 + 1}{2})$

Etapa 4.2.6

Simplifique os termos.

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Etapa 4.2.6.1

Combine os termos opostos em $2 \csc (\frac{x}{2}) - 1 + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2}) + 0}{2})$

Etapa 4.2.6.1.2

Some $2 \csc (\frac{x}{2})$ e $0$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2})}{2})$

Etapa 4.2.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2})}{2})$

Etapa 4.2.6.2.2

Divida $\csc (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\csc (\frac{x}{2}))$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}))$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (\frac{1}{2} \cdot (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}))) + 2$

Etapa 4.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.3.1.1

Fatore $2$ de $2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (\frac{1}{2} \cdot (2 (arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})))) + 2$

Etapa 4.3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (\frac{1}{2} \cdot (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}))) + 2$

Etapa 4.3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) + 2$

Etapa 4.3.3.2

The functions cosecant and arccosecant are inverses.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}) + 2$

Etapa 4.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 (- \frac{x}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Etapa 4.3.3.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.3.3.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x}{4}$ para o numerador.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \frac{- x}{4} - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Etapa 4.3.3.4.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = 4 (- 1) (\frac{- x}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Etapa 4.3.3.4.3

Cancele o fator comum.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = 4 \cdot (- 1 \frac{- x}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Etapa 4.3.3.4.4

Reescreva a expressão.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 1 (- x) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Etapa 4.3.3.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = 1 x - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Etapa 4.3.3.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Etapa 4.3.3.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.7.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x + 2 (- 2) (\frac{1}{2}) + 2$

Etapa 4.3.3.7.2

Cancele o fator comum.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x + 2 \cdot (- 2 (\frac{1}{2})) + 2$

Etapa 4.3.3.7.3

Reescreva a expressão.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x - 2 + 2$

Etapa 4.3.4

Combine os termos opostos em $x - 2 + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Some $- 2$ e $2$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x + 0$

Etapa 4.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$ é o inverso de $f (x) = - 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$