Trigonometria Exemplos

$4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = 4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$ .

$4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$ por $4$ .

$\frac{4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})}{4} = \frac{x}{4}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})}{4} = \frac{x}{4}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $\cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})$ por $1$ .

$\cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = \frac{x}{4}$

Etapa 2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do cosseno.

$\frac{y}{2} - \frac{π}{3} = \arccos (\frac{x}{4})$

Etapa 2.4

Some $\frac{π}{3}$ aos dois lados da equação.

$\frac{y}{2} = \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}$

Etapa 2.5

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Etapa 2.6

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 2.6.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.6.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.6.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Etapa 2.6.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Etapa 2.6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.6.2.1

Simplifique $2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$ .

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Etapa 2.6.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + 2 \frac{π}{3}$

Etapa 2.6.2.1.2

Combine $2$ e $\frac{π}{3}$ .

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Etapa 2.7

Some $\frac{π}{3}$ aos dois lados da equação.

$\frac{y}{2} = \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}$

Etapa 2.8

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Etapa 2.9

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 2.9.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.9.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.9.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Etapa 2.9.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Etapa 2.9.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.9.2.1

Simplifique $2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$ .

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Etapa 2.9.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + 2 \frac{π}{3}$

Etapa 2.9.2.1.2

Combine $2$ e $\frac{π}{3}$ .

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$ é o inverso de $f (x) = 4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3}))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) = 2 \arccos (\frac{4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) = 2 \arccos (\frac{4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Etapa 4.2.3.2

Divida $\cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ por $1$ .

$f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) = 2 \arccos (\cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) + \frac{2 π}{3}$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}}{2} - \frac{π}{3})$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$ e $2$ .

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Etapa 4.3.3.1

Fatore $2$ de $2 \arccos (\frac{x}{4})$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4})) + \frac{2 π}{3}}{2} - \frac{π}{3})$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $2$ de $\frac{2 π}{3}$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4})) + 2 (\frac{π}{3})}{2} - \frac{π}{3})$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $2$ de $2 (\arccos (\frac{x}{4})) + 2 \frac{π}{3}$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})}{2} - \frac{π}{3})$

Etapa 4.3.3.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.3.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})}{2 (1)} - \frac{π}{3})$

Etapa 4.3.3.4.2

Cancele o fator comum.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})}{2 \cdot 1} - \frac{π}{3})$

Etapa 4.3.3.4.3

Reescreva a expressão.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}}{1} - \frac{π}{3})$

Etapa 4.3.3.4.4

Divida $\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}$ por $1$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3} - \frac{π}{3})$

Etapa 4.3.4

Combine os termos opostos em $\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3} - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 4.3.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π - π}{3})$

Etapa 4.3.4.2

Subtraia $π$ de $π$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{0}{3})$

Etapa 4.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.5.1

Divida $0$ por $3$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + 0)$

Etapa 4.3.5.2

Some $\arccos (\frac{x}{4})$ e $0$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}))$

Etapa 4.3.6

As funções cosseno e arco cosseno são inversos.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 (\frac{x}{4})$

Etapa 4.3.7

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.3.7.1

Cancele o fator comum.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 (\frac{x}{4})$

Etapa 4.3.7.2

Reescreva a expressão.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$ é o inverso de $f (x) = 4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$