Trigonometria Exemplos

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} - \tan (θ)$

Etapa 1

Reescreva $\tan (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(1 - \sin (θ)) \cos (θ)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)}$ por $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{(1 - \sin (θ)) \cos (θ)} - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ por $\frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{(1 - \sin (θ)) \cos (θ)} - \frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(1 - \sin (θ)) \cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))} - \frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cos (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Etapa 6.1.1

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Etapa 6.1.2

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) - \sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Etapa 6.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\cos (θ)}^{1 + 1} - \sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Etapa 6.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) \cdot 1 - \sin (θ) (- \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Etapa 6.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Etapa 6.4

Multiplique $- \sin (θ) (- \sin (θ))$ .

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Etapa 6.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + 1 \sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Etapa 6.4.2

Multiplique $\sin (θ)$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + \sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Etapa 6.4.3

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + \sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Etapa 6.4.4

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Etapa 6.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + {\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Etapa 6.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Etapa 6.5

Reescreva $\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + \sin^{2} (θ)$ em uma forma fatorada.

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Etapa 6.5.1

Reorganize os termos.

$\frac{- \sin (θ) + \cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Etapa 6.5.2

Reorganize os termos.

$\frac{- \sin (θ) + \sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Etapa 6.5.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{- \sin (θ) + 1}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $- \sin (θ) + 1$ e $1 - \sin (θ)$ .

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Etapa 7.1

Reordene os termos.

$\frac{1 - \sin (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - \sin (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Etapa 7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\cos (θ)}$

Etapa 8

Converta de $\frac{1}{\cos (θ)}$ em $\sec (θ)$ .

$\sec (θ)$